在开放集中进行人脸识别，理想的特征最大的类内差距应小于最小的类间差距。作者提出了angular softmax（A-Softmax）损失函数学习angularly discriminative features。在球面流形中增加判别约束，符合人脸分布在流形上的假设。此外，角度的边距使用参数m进行量化。改方法只改了损失函数，使用经典的CNN结构上训练人脸识别模型，在Megaface上获得排名第一。
一、复习一下人脸识别相关内容：
人脸识别分为人脸认证和人脸验证，人脸人证将人脸分类到某个ID，人脸验证时输入一对人脸，判断是否为同一个ID。人脸识别可以在闭集合和开放集合上测试，如下图所示。
在闭集合上测试，所有的需要测试的ID在训练集中都存在，这相当于将测试人脸分类到某个ID，人脸验证相当于对一对人脸分别识别，判断id是否为同一个。在开放集合中，测试id与训练id不重叠，此时一般提取人脸特征，人脸认证相当于probe和gallery中每个人脸进行验证。开放集合人脸识别是距离学习问题，核心是学习好的特征。好的特征使得最大的类内差距小于最小的类间差距。
二、softmax损失的问题
softmax损失仅学习分辨性不够强的特征，一些方法结合softmax loss和contrastive loss，center loss。FaceNet使用了triplet losss。center loss仅能使得类内紧凑。contrastive loss和triplet loss需要pair/triplet 挖掘过程，耗时。所有的这些方法都使用欧式距离。
三、改进的softmax损失
softmax 损失学习到的特征呈角度分布，说明欧式距离损失和softmax损失相容度不好。论文提出了角度距离。以二分类问题为例，softmax 损失决策边界为：
(W1−W2)x+b1−b2=0
论文约束
||W1||=||W2||=1
,
b1=b2=0
，决策边界成为:
||x||(cos(θ1)−cos(θ2))=0
,
其中
θi
是
Wi
和x之间的 夹角，新的决策边界只依赖
θ1
和
θ2
，改进后的softmax损失可以直接优化角度，CNN可以学到呈角度分布的特征。这样第i类的特征相比其他类具有较小的
θi
。
接下来将损失改到angular softmax，引入整数m，量化决策边界。对二分类问题，类别1和类别2的决策边界不一样，分别为：
||x||(cos(mθ1)−cos(θ2))=0
||x||(cos(θ1)−cos(mθ2))=0
m控制角度距离的尺寸，二分类问题可扩展到多分类问题，通过优化A-Softmax，决策区域分的更开，拉大了类间距离，压缩了类内距离。几种损失函数学到的特征分布如下图所示，
A-Softmax具有清晰的几何标识，学到的特征构建了一个角度距离判别法，等价于球流形上的geodesic距离，鉴于A-Softmax loss与球流形之间的联系，论文提出的方法成为SphereFace。欧拉距离损失，改进Softmax损失，A-Softmax损失的几何标识如下图所示，第一行为2D特征约束，第二行为3D特征约束。
论文使用的几种CNN网络：
实验结果
使用WebFace训练，训练使用的数据量是0.49M，与DeepFace，FaceNet，VGGFace相比很小。
引入整数m对识别结果的影响：
在LFW和YTF数据集上的对比：
