在已知缺失时间间隔之间插入 3D 坐标

数据是空间中的路径。我有 3D 位置数据 (x,y,z) 和记录位置点的时间。

x、y 和 z 坐标是物体在 3D 空间中移动的点位置。时间值是记录每个点的时间（从 0 开始）。

x     y    z    time(s)
0.1   2.2  3.3  0
2.4   2.4  4.2  0.3
4.5   2.5  1.8  0.6

我最终会错过一些录音活动。 （这是已知的并被接受为正确的）并且数据流将以不同的时间间隔继续：

x     y    z    time(s)
0.1   2.2  3.3  0
2.4   2.4  4.2  0.3
//missing x,y,z data point at time 0.6
//missing x,y,z data point at time 0.9
4.5   2.5  1.8  1.2
...
...

请注意，数据已简化。我的目标是在已知的缺失时间插入缺失的 3D 点。我研究了各种插值技术，但我不完全确定哪种插值方法适合我的问题。

1）有人能简洁地解释一下这是什么问题吗？我的数学非常生疏，我不知道如何正确描述它，这导致我研究可能不合适的插值技术。

2) Update 1由于我没有在 3D 空间中使用网格，因此三次三次插值不应适用于此。我正在研究轨迹。我找到了一个三三次插值实现 https://commons.apache.org/proper/commons-math/javadocs/api-3.4.1/org/apache/commons/math3/analysis/interpolation/TricubicInterpolator.html在 Apache math3 commons 中，但是我不确定这是否是我所需要的。如果你看一下它所采用的参数，它需要一个我不确定的 double[][][] fval 矩阵。

3) 如果不是最适合 Java，那么插值此数据的最佳工具是什么？

更新 2 - 有关 Spectre 解决方案的问题

在您的编辑中，您提供了有关“匹配关节点的一阶导数”的以下提示：

让我们定义我们的t=<-2,+2>并像这样对控制点进行采样（实际上并不重要，它如何影响系数幅度并包括-1,0,1将大大简化方程）：

p(-2) = p0
p(-1) = p1
p( 0) = p2
p( 1) = p3

现在假设我们要对区间上的所有点进行插值t=<0,1>所以之间的所有点p2 and p3。我们想要连续的分段曲线，因此关节点的一阶导数应该匹配。我们在左侧多了一个控制点，因此二阶导数也可以在那里匹配：

p'(0) = 0.5*((p3-p2)+(p2-p1)) = 0.5*(p3-p1)
p'(1) = 0.5*((p4-p3)+(p3-p2)) = 0.5*(p4-p2)
p''(0)= 0.5*(((p2-p1)-(p1-p0))+((p4-p3)-(p3-p2)))
      = 0.5*((p2-2*p1+p0)+(p4-2*p3+p2))
      = 0.5*(p0+p4)-p1+p2-p3

希望我在第二次推导中没有犯任何愚蠢的错误。现在只需替换p(t)已知控制点并形成方程组并计算a0,a1,a2,a3,a4代数地从p0,p1,p2,p3,p4.

1）你的意思是joint points?

2）去哪里

p'(0) = 0.5*((p3-p2)+(p2-p1)) = 0.5*(p3-p1)
p'(1) = 0.5*((p4-p3)+(p3-p2)) = 0.5*(p4-p2)

来自？它们有什么关系吗p(0) = p2 and p(1) = p3？它们可以是您选择的任何东西吗？

它可以重写为p'(0) = 0.5*((p(3)-p(0)) + (p(0)-p(-1))正确的？我不清楚为什么要这样做。甚至为什么会这样can be done

2b）类似的问题

p''(0)= 0.5*(((p2-p1)-(p1-p0))+((p4-p3)-(p3-p2)))
      = 0.5*((p2-2*p1+p0)+(p4-2*p3+p2))
      = 0.5*(p0+p4)-p1+p2-p3

但我假设澄清问题 2) 将减轻我对 2b) 的歧义，因为我也不知道方程来自哪里。

接下来的内容非常简单，那就是方程组

由于您的数据很可能只是一些平滑曲线采样点，我将使用三次插值多项式，如下所示：

• C#/Unity3D 中的分段线性整数曲线插值 https://stackoverflow.com/a/22806242/2521214

曲线属性使得它经过所有控制点（t={-1,0,+1,+2}），内部控制点的方向（一阶导数）是展位侧面的平均值以平滑连接（类似于Bezier立方）。

算法是这样的：

1. 失分前得 2 分，失分后得 2 分

   让我们打电话给他们p0,p1,p2,p3理想情况下，它们应该是时间等距的……并按时间排序。

2. 计算每个轴的 4 个系数

   d1=0.5*(p2.x-p0.x);
   d2=0.5*(p3.x-p1.x);
   ax0=p1.x;
   ax1=d1;
   ax2=(3.0*(p2.x-p1.x))-(2.0*d1)-d2;
   ax3=d1+d2+(2.0*(-p2.x+p1.x));
   
   d1=0.5*(p2.y-p0.y);
   d2=0.5*(p3.y-p1.y);
   ay0=p1.y;
   ay1=d1;
   ay2=(3.0*(p2.y-p1.y))-(2.0*d1)-d2;
   ay3=d1+d2+(2.0*(-p2.y+p1.y));
   
   d1=0.5*(p2.z-p0.z);
   d2=0.5*(p3.z-p1.z);
   az0=p1.z;
   az1=d1;
   az2=(3.0*(p2.z-p1.z))-(2.0*d1)-d2;
   az3=d1+d2+(2.0*(-p2.z+p1.z));
   

3. 设置参数t=<0,1>对应于缺失时间的值

   所以如果你选择积分p0,p1,p2,p3与时代t0,t1,t2,t3那么缺失的时间tm对应参数：

   t = (tm-t1)/(t2-t1);
   

4. 计算缺失点。

   x=ax0+ax1*t+ax2*t*t+ax3*t*t*t
   y=ay0+ay1*t+ay2*t*t+ay3*t*t*t
   z=az0+az1*t+az2*t*t+az3*t*t*t
   

如果通过推导类似的方程或拟合还不够，您可以使用更高阶的多项式。另请看一下这个：

• 如何产生多点线性插补？ https://stackoverflow.com/a/30438865/2521214

[Edit1]构造自己的多项式

您的评论的答案在[edit2] of 三次样条和 Catmull 样条对图像的影响 https://stackoverflow.com/a/23627081/2521214这也在上面的先前链接中链接。以类似的方式制作 4 次插值多项式，您将有 5 个点(p0,p1,p2,p3,p4)和方程：

p(t)= a0 + a1*t + a2*t*t + a3*t*t*t + a4*t*t*t*t
p'(t) =    a1 + 2*a2*t + 3*a3*t*t + 4*a4*t*t*t
p''(t) =        2*a2   + 6*a3*t   +12*a4*t*t

让我们定义我们的t=<-2,+2>并像这样对控制点进行采样（实际上并不重要，它如何影响系数幅度并包括-1,0,1将大大简化方程）：

p(-2) = p0
p(-1) = p1
p( 0) = p2
p( 1) = p3
p( 2) = p4

现在假设我们要对区间上的所有点进行插值t=<0,1>所以之间的所有点p2 and p3。我们想要连续的分段曲线，因此关节点的一阶导数应该匹配。我们在左侧多了一个控制点，因此二阶导数也可以在那里匹配：

p'(0) = 0.5*((p3-p2)+(p2-p1)) = 0.5*(p3-p1)
p'(1) = 0.5*((p4-p3)+(p3-p2)) = 0.5*(p4-p2)
p''(0)= 0.5*(((p2-p1)-(p1-p0))+((p4-p3)-(p3-p2)))
      = 0.5*((p2-2*p1+p0)+(p4-2*p3+p2))
      = 0.5*(p0+p4)-p1+p2-p3

希望我在第二次推导中没有犯任何愚蠢的错误。现在只需替换p(t)已知控制点并形成方程组并计算a0,a1,a2,a3,a4代数地从p0,p1,p2,p3,p4。提示使用t=0,t=+1 and t=-1所以你会得到这些的线性方程。例如：

p( 0) = p2 = a0 + a1*0 + a2*0*0 + a3*0*0*0 + a4*0*0*0*0
        p2 = a0

如你看到的a0计算起来非常简单，可以用于推导：

p'(0) = 0.5*(p3-p1)          = a1 + 2*a2*0 + 3*a3*0*0 + 4*a4*0*0*0
p''(0)= 0.5*(p0+p4)-p1+p2-p3 =      2*a2   + 6*a3*0   +12*a4*0*0
-------------------------------------------------------------------
        0.5*(p3-p1)          = a1  
        0.5*(p0+p4)-p1+p2-p3 =      2*a2
-------------------------------------------------------------------
        0.5*(p3-p1)                 = a1  
        0.25*(p0+p4)-0.5*(p1+p2-p3) = a2
-------------------------------------------------------------------

Now use t=+1 and t=-1并计算a3,a4。您可以设置关节点导数以满足您的特定需求（不仅仅是左右导数的平均值），但形成像您这样的连续曲线是最好的（根据我的经验）。