d
u
1
d
t
=
−
u
1
+
2
u
2
d
u
2
d
t
=
u
1
−
2
u
2
\begin{align*} &\frac{du_1}{dt} = -u_1 + 2u_2\\ &\frac{du_2}{dt} = u_1 -2u_2 \end{align*}
d
t
d
u
1
=
−
u
1
+
2
u
2
d
t
d
u
2
=
u
1
−
2
u
2
初值条件
u
1
u_1
u
1
=1 ,
u
0
u_0
u
0
=0
→
\rightarrow
→
d
u
d
t
=
A
u
\frac{du}{dt} = Au
d
t
d
u
=
A
u
,
A
=
[
−
1
2
1
−
2
]
A=\begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -2 \end{bmatrix}
A
=
[
−
1
1
2
−
2
]
,u(0) =
[
1
0
]
\begin{bmatrix} 1\\0 \end{bmatrix}
[
1
0
]
分析矩阵 A 的目的是要追踪 u 随时间的变化，而首先要做的是找到矩阵的特征值和特征变量。
A
=
[
−
1
2
1
−
2
]
A=\begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 1 & -2 \end{bmatrix}
A
=
[
−
1
1
2
−
2
]
,很明显矩阵 A 为奇异矩阵，因此存在一个特征值λ1=0，而矩阵的迹为-3，因此还有一个特征值为λ2=-3。
当然我们也可以用一般方法计算
∣
A
−
λ
E
∣
=
\begin{vmatrix} A - λE \end{vmatrix} =
A
−
λ
E
=
∣
−
1
−
λ
2
1
−
2
−
λ
∣
\begin{vmatrix} -1-λ& 2 \\1 & -2-λ \end{vmatrix}
−
1
−
λ
1
2
−
2
−
λ
=
λ
2
λ^2
λ
2
+3λ =0
特征值 λ 2 λ_2 λ 2 = −3 将会逐渐消失，因为答案中将会有一项为 e − 3 t e^{−3 t } e − 3 t ,该项会随着时间的推移趋近于0 。答案的另一部分将有一项为 e 0 t e^{0t} e 0 t ，该项是一个常数，其值为1，并不随时间而改变。通常含有0 特征值的矩阵会随着时间的推移达到稳态。
一阶线性微分方程的解的形式是
e
λ
t
e^{λt}
e
λ
t
。两个特征值中，1 会使结果达到稳态，而-3 所对应的 e-3t会随时间增大而变小 。
方程的通解为 U(t) =
c
1
e
λ
1
t
X
1
c_1e^{λ_1t} X_1
c
1
e
λ
1
t
X
1
+
c
2
e
λ
2
t
X
2
c_2e^{λ_2t} X_2
c
2
e
λ
2
t
X
2
。
将
λ
1
λ_1
λ
1
= 0，
λ
2
λ_2
λ
2
= −3代入( A - λI )x =0,分别求得对应的特征向量 x1=
[
2
1
]
\begin{bmatrix} 2\\1 \end{bmatrix}
[
2
1
]
,x2=
[
1
−
1
]
\begin{bmatrix} 1\\-1 \end{bmatrix}
[
1
−
1
]
。
U(t) =
c
1
e
λ
1
t
X
1
c_1e^{λ_1t} X_1
c
1
e
λ
1
t
X
1
+
c
2
e
λ
2
t
X
2
c_2e^{λ_2t} X_2
c
2
e
λ
2
t
X
2
=
c
1
e
0
[
2
1
]
+
c_1e^{0} \begin{bmatrix} 2\\1 \end{bmatrix}+
c
1
e
0
[
2
1
]
+
c
2
e
−
3
t
[
1
−
1
]
c_2e^{-3t} \begin{bmatrix} 1\\ -1 \end{bmatrix}
c
2
e
−
3
t
[
1
−
1
]
U(0) =
c
1
[
2
1
]
c_1 \begin{bmatrix} 2\\1 \end{bmatrix}
c
1
[
2
1
]
+
c
2
e
−
3
t
[
1
−
1
]
c_2e^{-3t} \begin{bmatrix} 1\\ -1 \end{bmatrix}
c
2
e
−
3
t
[
1
−
1
]
=
[
1
0
]
\begin{bmatrix} 1\\0 \end{bmatrix}
[
1
0
]
,可解得
c
1
c_1
c
1
=
c
2
c_2
c
2
= 1/3。
因此 U(t) =
1
3
[
2
1
]
\frac{1}{3} \begin{bmatrix} 2\\1 \end{bmatrix}
3
1
[
2
1
]
+
1
3
e
−
3
t
[
1
−
1
]
\frac{1}{3}e^{-3t} \begin{bmatrix} 1\\ -1 \end{bmatrix}
3
1
e
−
3
t
[
1
−
1
]
,前一项为稳定状态，后一项随着时间衰减。
稳定性：
在方程
d
U
d
t
\frac{dU}{dt}
d
t
d
U
= Au中，矩阵 A 的状态表明不同分量之间相互耦合，而用特征值和特征向量处理进行对角化是为了解耦。令 u=Sv，其中 S 是由矩阵 A 的特征向量组成。则有：
我们可以用幂级数的公式：
e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! = 1 + x + x 2 2 + x 3 6 + . . . . . . e^x =\sum_{n=0}^∞ {\frac{x^n}{n!}} = 1+x+\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + ...... e x = n = 0 ∑ ∞ n ! x n = 1 + x + 2 x 2 + 6 x 3 + ......
来定义矩阵型指数运算 e A t e^{At} e A t ：
e A t = I + A t + ( A t ) 2 2 + ( A t ) 3 6 + . . . . . e^{At} = I + At + \frac{(At)^2}{2}+ \frac{(At)^3}{6} + ..... e A t = I + A t + 2 ( A t ) 2 + 6 ( A t ) 3 + .....
如果 At 的特征值很小，满足收敛条件 ∣ λ ( A t ) ∣ \begin{vmatrix} λ(At) \end{vmatrix} λ ( A t ) <1，则可以用几何级数来定义矩阵型指数：
1 1 − x = ∑ n = 0 ∞ x n → ( I + A t ) − 1 = I + A t + ( A t ) 2 + ( A t ) 3 + . . . . . \frac{1}{1- x } = \sum_{n=0}^∞x^n \rightarrow ( I + At )^{-1} = I + At + (At)^2+ (At)^3 + ..... 1 − x 1 = n = 0 ∑ ∞ x n → ( I + A t ) − 1 = I + A t + ( A t ) 2 + ( A t ) 3 + .....
前文中我们已经写出了矩阵指数函数的公式
e
A
t
e^{ At}
e
A
t
=
S
e
Λ
t
S
−
1
Se^{Λt}S^{-1}
S
e
Λ
t
S
−
1
。如果矩阵 A 具有 n个线性无关的特征向量，我们可以从幂级数定义的矩阵指数公式来再次验证：
我们可以将二阶微分方程 y ′ ′ + b y ′ + k y y^{''} +by^{'} +ky y ′′ + b y ′ + k y =0 转化为 2 x 2 的一阶问题进行处理，构造方法类似于我们对斐波那契数列的处理方法。
令u = [ y ′ y ] \begin{bmatrix} y^{'}\\y \end{bmatrix} [ y ′ y ] ,则有 u ′ = [ y ′ ′ y ′ ] = [ − b − k 1 0 ] [ y ′ y ] u^{'} =\begin{bmatrix} y^{''}\\y^{'} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} -b & -k \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} y^{'}\\y \end{bmatrix} u ′ = [ y ′′ y ′ ] = [ − b 1 − k 0 ] [ y ′ y ]
如果是 k 阶微分方程，那么需要一个 k x k 矩阵，除了第一行和对角线下面一排斜线上的元素之外，这个系数矩阵其它元素均为 0。
