将更高种类的类型（单子！）嵌入到无类型的 lambda 演算中

可以通过高阶函数对无类型 lambda 演算中的各种类型进行编码。

Examples:
zero  = λfx.      x
one   = λfx.     fx
two   = λfx.   f(fx)
three = λfx. f(f(fx))
etc

true  = λtf. t
false = λtf. f

tuple = λxyb. b x y
null  = λp. p (λxy. false)

我想知道是否有任何研究涉及嵌入其他不太传统的类型。如果有某个定理断言可以嵌入任何类型，那就太好了。也许有一些限制，例如只能嵌入 kind * 的类型。

如果确实可以表示不太常规的类型，那么看到一个例子就太好了。我特别想看看 monad 类型类的成员是什么样子的。

几乎可以表示您想要的任何类型。但由于每种类型的一元操作的实现方式都不同，所以not可以写>>=一次并让它适用于每个实例。

然而，你can编写依赖于的通用函数evidence类型类的实例。考虑e这里是一个元组，其中fst e包含“绑定”定义，并且snd e包含“返回”定义。

bind = λe. fst e    -- after applying evidence, bind looks like λmf. ___
return = λe. snd e  -- after applying evidence, return looks like λx. ___

fst = λt. t true
snd = λt. t false

-- join x = x >>= id
join = λex. bind e x (λz. z)

-- liftM f m1 = do { x1 <- m1; return (f x1) }
-- m1 >>= \x1 -> return (f x1)
liftM = λefm. bind e m (λx. return e (f x))

然后，您必须为 Monad 的每个实例定义一个“证据元组”。请注意，我们定义的方式bind and return：它们的工作方式就像我们定义的其他“通用”Monad 方法一样：必须首先给出它们evidenceMonad-ness，然后它们按预期运行。

我们可以代表Maybe作为一个需要 2 个输入的函数，第一个是要执行的函数，如果它是Just x，第二个是如果为 Nothing 则替换它的值。

just = λxfz. f x
nothing = λfz. z

-- bind and return for maybes
bindMaybe = λmf. m f nothing
returnMaybe = just

maybeMonadEvidence = tuple bindMaybe returnMaybe

列表类似，将列表表示为它的折叠函数。因此，列表是一个需要 2 个输入的函数，一个“cons”和一个“empty”。然后它执行foldr myCons myEmpty在名单上。

nil = λcz. z
cons = λhtcz. c h (t c z)

bindList = λmf. concat (map f m)
returnList = λx. cons x nil

listMonadEvidence = tuple bindList returnList

-- concat = foldr (++) []
concat = λl. l append nil

-- append xs ys = foldr (:) ys xs
append = λxy. x cons y

-- map f = foldr ((:) . f) []
map = λfl. l (λx. cons (f x)) nil

Either也很简单。将任一类型表示为具有两个函数的函数：如果它是一个函数，则应用一个函数Left，如果它是一个则要申请另一个Right.

left = λlfg. f l
right = λrfg. g r

-- Left l >>= f = Left l
-- Right r >>= f = f r
bindEither = λmf. m left f
returnEither = right

eitherMonadEvidence = tuple bindEither returnEither

别忘了，函数他们自己 (a ->)形成一个单子。 lambda 演算中的所有内容都是一个函数...所以...不要想得太难。 ;) 直接从源头获得灵感控制.Monad.实例 http://hackage.haskell.org/packages/archive/base/latest/doc/html/src/Control-Monad-Instances.html

-- f >>= k = \ r -> k (f r) r
bindFunc = λfkr. k (f r) r
-- return = const
returnFunc = λxy. x

funcMonadEvidence = tuple bindFunc returnFunc