使用泰勒级数近似 cos

我正在使用泰勒级数 https://www.efunda.com/math/taylor_series/trig.cfm例如，要计算数字的余弦，对于较小的数字，该函数会返回准确的结果cos(5) gives 0.28366218546322663。但对于较大的数字，它会返回不准确的结果，例如cos(1000) gives 1.2194074101485173e+225

def factorial(n):
    c = n
    for i in range(n-1, 0, -1):
        c *= i
    return c

def cos(x, i=100):
    c = 2
    n = 0
    for i in range(i):
        if i % 2 == 0:
            n += ((x**c) / factorial(c))
        else:
            n -= ((x**c) / factorial(c))
        c += 2
    return 1 - n

我尝试使用round(cos(1000), 8)put 它仍然返回一个用科学记数法写成的数字1.2194074101485173e+225与 e+ 部分。math.cos(1000) gives 0.5623790762907029，如何舍入我的数字，使它们与 math.cos 方法相同？

麦克劳林级数利用欧拉的思想，使用适当的多项式来近似函数的值。多项式显然与这样的函数不同cos(x)因为它们在某个时刻都趋向于无穷大，而cos没有。 100 阶多项式在零的每一侧最多可以近似函数的 50 个周期。由于 50 * 2pi can't近似cos(1000).

为了更接近合理的解决方案，多项式的阶数必须至少为x / pi。您可以尝试计算 300+ 阶的多项式，但由于浮点数的有限精度和阶乘的巨大性，您很可能会遇到一些主要的数值问题。

相反，使用周期性cos(x)并将以下内容添加为函数的第一行：

x %= 2.0 * math.pi

您还需要限制多项式的阶数，以避免因阶乘太大而无法放入浮点数的问题。此外，您可以而且应该通过增加先前的结果来计算阶乘，而不是在每次迭代时从头开始。这是一个具体的例子：

import math

def cos(x, i=30):
    x %= 2 * math.pi
    c = 2
    n = 0
    f = 2
    for i in range(i):
        if i % 2 == 0:
            n += x**c / f
        else:
            n -= x**c / f
        c += 2
        f *= c * (c - 1)
    return 1 - n

>>> print(cos(5), math.cos(5))
0.28366218546322663 0.28366218546322625

>>> print(cos(1000), math.cos(1000))
0.5623790762906707 0.5623790762907029

>>> print(cos(1000, i=86))
...
OverflowError: int too large to convert to float

您可以通过注意到增量乘积来进一步摆脱数值瓶颈x**2 / (c * (c - 1))。对于更大的范围来说，这将保持良好的界限i比你可以用直接阶乘支持：

import math

def cos(x, i=30):
    x %= 2 * math.pi
    n = 0
    dn = x**2 / 2
    for c in range(2, 2 * i + 2, 2):
        n += dn
        dn *= -x**2 / ((c + 1) * (c + 2))
    return 1 - n

>>> print(cos(5), math.cos(5))
0.28366218546322675 0.28366218546322625
>>> print(cos(1000), math.cos(1000))
0.5623790762906709 0.5623790762907029
>>> print(cos(1000, i=86), math.cos(1000))
0.5623790762906709 0.5623790762907029
>>> print(cos(1000, i=1000), math.cos(1000))
0.5623790762906709 0.5623790762907029

请注意，经过某个点，无论执行多少次循环，结果都不会改变。这是因为现在dn正如欧拉的意图，收敛到零。

您可以使用此信息进一步改进您的循环。由于浮点数的精度有限（具体来说，尾数为 53 位），因此您可以在以下情况下停止迭代：|dn / n| < 2**-53:

import math

def cos(x, conv=2**-53):
    x %= 2 * math.pi
    c = 2
    n = 1.0
    dn = -x**2 / 2.0
    while abs(n / dn) > conv:
        n += dn
        c += 2
        dn *= -x**2 / (c * (c - 1))
    return n

>>> print(cos2(5), math.cos(5))
0.28366218546322675 0.28366218546322625
>>> print(cos(1000), math.cos(1000))
0.5623790762906709 0.5623790762907029
>>> print(cos(1000, 1e-6), math.cos(1000))
0.5623792855306163 0.5623790762907029
>>> print(cos2(1000, 1e-100), math.cos(1000))
0.5623790762906709 0.5623790762907029

参数conv不仅仅是上的界限|dn/n|。由于以下项交换符号，因此它也是结果整体精度的上限。