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保研机试——4数据结构（栈、队列、链表、哈夫曼树、二叉树、二叉排序树、前缀树、搜索(DFS/BFS/A*)、图论算法(并查集、最小生成树、最短路径、拓扑)）

2023-05-16

cank

在写一道题时，首先想到的是怎么取存储输入输出的数据，使我们操作更加方便，处理的更快，所以我们来认识数据结构，认识数据存储：
单值：变量
连续：1维数组(行)、2维数组(面)、3维数组(体)
离散：链表(插入删除多的1维数组)
行长度不同的二维表：vector<string>或vector<vector>
…
不要拘泥于现有认知的数据结构，可以通过STL的组合灵活构造。

  • 1 栈stack
  • 2 队列queue
  • 3 链表
  • 4 二叉树
  • 5 哈夫曼树
  • 6 二叉排序树
  • 7 前缀树
  • 8 搜索(DFS/BFS/A*)
  • 8.1 暴力枚举
    • 8.2 DFS深度优先搜索
  • 9 图论算法(并查集、最小生成树、最短路径、拓扑)

1 栈stack

只能在栈顶一端进行入栈和弹栈操作，它满足先进后出的特性 只能在栈顶一端进行入栈和弹栈操作，它满足先进后出的特性 只能在栈顶一端进行入栈和弹栈操作，它满足先进后出的特性
STL栈stack：
#include <stack>中可以用stack<int> st来定义一个全局栈来储存整数的空的stack。当然stack可以存任何类型的数据，比如stack<string> st等等。
数组模拟栈：
只能使用C语言机试的同学直接用数组模拟栈即可。

// 初始化栈
int stk[N], top=-1;
// 插入元素
stk[++top] = x;
// 弹出元素
c = stk[top--];
// 取栈顶值
stk[top];
// 判断栈是否为空
if (top == -1)

常见应用方式：
1、计算表达式的值
2、带优先级的括号匹配问题

2 队列queue

只能在队尾入队和队头出队操作，它满足先进先出的特性 只能在队尾入队和队头出队操作，它满足先进先出的特性 只能在队尾入队和队头出队操作，它满足先进先出的特性
STL队列queue：
#include <queue>中可以用queue<int> q来定义一个全局队列来储存整数的空的queue。当然queue可以存任何类型的数据，比如queue<string> q等等。

q.push(something);//入栈
q.pop();//出栈
q.top();//取栈顶元素值
q.empty();//判断栈空

STL优先队列priority_queue：自动排序（可重复）

 #include <priority_queue>
 //升序队列：小顶堆
priority_queue <int,vector<int>,greater<int> > q;
//降序队列：大顶堆
priority_queue <int,vector<int>,less<int> >q;
/*
和队列基本操作相同:
top 访问队头元素
empty 队列是否为空
size 返回队列内元素个数
push 插入元素到队尾 (并排序)
emplace 原地构造一个元素并插入队列
pop 弹出队头元素
swap 交换内容
*/

//使用基本数据类型时，只需要传入数据类型，默认是大顶堆。
//对于基础类型 默认是大顶堆
priority_queue<int> a; //等同于 priority_queue<int, vector<int>, less<int> > a;

//用自定义类型,需重载自定义类型的<运算符
struct tmp1 {
    int x;
    //构造函数
    tmp1(int a) {x = a;}
    //运算符重载<
    bool operator<(const tmp1& a) const {
        return x < a.x; //大顶堆
    }
};
priority_queue<tmp1> d;

3 链表

对于使用OJ测评的院校的同学来说，这类问题可以用数组来实现，没有必要用链表去实现，写起来慢不说，还容易出错，所以我们一般都直接用数组来实现，反正最后OJ能AC就行。

但是对于非OJ测评的院校来说，链表类问题可以说是必考的题型。

一般来说有以下三种常见考点：
1、约瑟夫环
解析：n个节点的循环链表建立之后，按照题意(间隔m个节点)删除节点，求删除顺序。三种解法：数组、循环链表、递归

//循环链表实现
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define rep(i,s,e) for(int i=s;i<e;i++)
#define per(i,s,e) for(int i=s;i>e;i--)

struct node{
	int num;
	node* next=nullptr;
};

//创建循环链表  
struct node* create(int n) {  
    struct node *head, *now, *pre;  
    rep(i,1,n+1) {
        now = new node;  
        if (i == 1) {  
            head = now;  //头节点
            pre = now;  //now前一个
        }  
        now->num = i;  
        now->next = head;  
        pre->next = now;  
        pre = now;  
    }  
    return head;  
}; 

void print(node*root){
    int flag=1;
    node *current=root,*pre;
    while(current->next!=current){
        if(flag){
            flag=0;
            pre=current->next;//当前表演的前一个
            current=pre->next;//推进两下
            pre->next=current->next;
        }
        else{
            pre=current->next->next;//当前表演的前一个
            current=pre->next;//推进三下
            pre->next=current->next;
        }
        cout<<current->num;
    }
}

int main(){
    int n;
	cin>>n;
    node *root=create(n);
    print(root);
	return 0;
}

在这里插入图片描述

//数组实现
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define rep(i,s,e) for(int i=s;i<e;i++)
#define per(i,s,e) for(int i=s;i>e;i--)
int a[101]={0};//开数组的大小根据题目上限决定，初始全0
//a[i]=0表示i没有出局，a[i]=1表示i出局，a[0]不用

int main(){
    int n,m;
    int cnt=0,i=0,k=0;//cnt记录当前出局的人数，i用于控制循环遍历n个人，k用于记录是否循环m个人
    cin>>n>>m;//n表示约瑟夫环总人数，m表示每隔m个人就出局
    while(cnt!=n){
        i++;
        if(i>n) i=1;//i超过n时，返回1进行循环
        if(a[i]==0){
            k++;
            if(k==m){
                a[i]=1;//i号出局
                cnt++;//出局人数++
                cout<<i<<" ";
                k=0;//清空k，重新从0开始报数
            }
        }
    }
	return 0;
}

在这里插入图片描述

//递归实现

2、有序链表合并
解析：这个和两个有序数组合并为一个有序数组原理一样。

3、链表排序
解析：使用冒泡排序进行链表排序，因为冒泡排序是相邻两个元素进行比较交换，适合链表。

4 二叉树

  • 树的本质就是多个子节点的链表，根节点指针=表头指针，子节点用vector<node*> childern保存。
  • 二叉树就是限定每个节点的子节点不超过2个，子节点用node* left; noed* right保，左子树和右子树是有顺序的，次序不能任意颠倒。

二叉树的建立：
在这里插入图片描述

二叉树的遍历：（递归实现）

  • 前序遍历(根左右)：从二叉树的根结点出发，当第一次到达结点时就输出结点数据，按照先向左再向右的方向访问。对于上图，遍历顺序如下：ABDHIEJCFG
  • 中序遍历(左根右)：从二叉树的根结点出发，当第二次到达结点时就输出结点数据，按照先向左再向右的方向访问。对于上图，遍历顺序如下：HDIBJEAFCG
  • 后序遍历(左右根)：从二叉树的根结点出发，当第三次到达结点时就输出结点数据，按照先向左再向右的方向访问。对于上图，遍历顺序如下：HIDJEBFGCA
  • 层序遍历：按照树的层次自上而下的遍历二叉树。对于上图，遍历顺序如下：ABCDEFGHIJ

判断二叉树对称：先建树，先序遍历的“根左右” = 先序遍历的“根右左”，则二叉树对称。
在这里插入图片描述

遍历常考考点(建树！！！)
对于二叉树的遍历有一类典型题型。

            通过中序遍历和先序遍历 可以 确定一个树
            通过中序遍历和后续遍历 可以 确定一个树
            通过先序遍历和后序遍历 不可以 确定一个树。

1）前序序列+中序序列，构建二叉树。

  • 前序遍历是ABDECFG
  • 中序遍历是DBEACGF
    在这里插入图片描述
    这样我们就构造出第一个点。以preOrder[1…3]作为新的前序，inOrder[0…2]作为新的中序，就可以构造出A的左子树（右也同理）。
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define rep(i,s,e) for(int i=s;i<e;i++)
#define per(i,s,e) for(int i=s;i>e;i--)

typedef struct node{
    node *lchild=NULL, *rchild=NULL;
    char data;
}node,*Tree;
//typedef struct node{}Node,*TreeNode; 可以实现给结构体node起别名Node，也可以定义结构体node的指针类型TreeNode

void createTree(Tree&T,string pre,string in){
    T=new node;//每次构建一个子树时，先创建一个空结点
    T->lchild=NULL;T->rchild=NULL;
    
    T->data=pre[0];//前序pre序列的第一个字符是树根的字符
    if(pre.size()==1) return;//如果pre序列只有一个字符的话，则直接返回(即不再继续构造根节点的子树)

    int mid=in.find(pre[0]);//找到根节点字符在中序in序列中的位置，后面用于构建左右子树
    if(mid!=0)//如果根节点在中序序列首，无法构造左子树
        createTree(T->lchild,pre.substr(1,mid+1),in.substr(0,mid));//取序列子串，递归构建
    if(mid!=in.size()-1)//如果根节点在中序序列尾，无法构造右子树
        createTree(T->rchild,pre.substr(mid+1),in.substr(mid+1));//取序列子串，递归构建
}

void postOrder(node* p) {//后序遍历
    if(p!=NULL){ postOrder(p->lchild); postOrder(p->rchild); cout<<p->data; }
}

main() {
    string pre,in; cin>>pre>>in;
    node * root = new node;
    createTree(root,pre,in);
    postOrder(root);
}

2）后序序列+中序序列，构建二叉树。
后序遍历中最后访问的为根结点，因此可以按照上述同样的方法，找到根结点后分成两棵子树，进而继续找到子树的根结点，一步步确定二叉树的形态。
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
代码还有错误，带改

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define rep(i,s,e) for(int i=s;i<e;i++)
#define per(i,s,e) for(int i=s;i>e;i--)

typedef struct node{
    node *lchild=NULL, *rchild=NULL;
    char data;
}node,*Tree;
//typedef struct node{}Node,*TreeNode; 可以实现给结构体node起别名Node，也可以定义结构体node的指针类型TreeNode

void in_post_createTree(Tree&T,string in,string post){
    T=new node;//每次构建一个子树时，先创建一个空结点
    T->lchild=NULL;T->rchild=NULL;
    
    T->data=post[post.size()-1];//后序pre序列的最后一个字符是树根的字符
    if(post.size()==1) return;//如果pre序列只有一个字符的话，则直接返回(即不再继续构造根节点的子树)

    int mid=in.find(T->data);//找到根节点字符在中序in序列中的位置，后面用于构建左右子树
    if(mid!=0)//如果根节点在中序序列首，无法构造左子树
        in_post_createTree(T->lchild,in.substr(0,mid),post.substr(0,mid));//取序列子串，递归构建
    if(mid!=in.size()-1)//如果根节点在中序序列尾，无法构造右子树
        in_post_createTree(T->rchild,in.substr(mid+1),post.substr(mid+1,post.size()-1-mid));//取序列子串，递归构建
}

void preOrder(node* p) {
    if(p!=NULL){ cout<<p->data; preOrder(p->lchild); preOrder(p->rchild); }
}

main() {
    string in,post; cin>>in>>post;
    node * root = new node;
    in_post_createTree(root,in,post);
    preOrder(root);
}

例题，二叉树的建立和遍历
题目描述：
建立以二叉链作为存储结构的二叉树，实现 1）先序遍历； 2）中序遍历； 3）后序遍历； 4）层序遍历； 5）编程计算二叉树的叶子结点个数。
输入描述：
按照先序遍历序列输入二叉树中数据元素的值，没有的输入0表示。
输出描述：
第一行输出先序遍历序列 第二行输出中序遍历序列 第三行输出后序遍历序列 第四行输出叶子结点的个数。
输入样例:
A B C 0 0 0 D E 0 F 0 0 G 0 0
输出样例:
A B C D E F G
C B A E F D G
C B F E G D A
3

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define rep(i,s,e) for(int i=s;i<e;i++)
#define per(i,s,e) for(int i=s;i>e;i--)
typedef struct node{ //注意typedef不能省略，以后定义node时就不需要struct了
    char data;  
    struct node *lchild,*rchild;  
}*BitTree;  
string line;
int i;
char c;
//先序遍历的方式创建二叉树  
void CreatBitTree(BitTree &T) { 
    if(i==line.size()) return;
    c=line[i++]; 
    if (c == '0') T = NULL;  
    else {  
        T = new node;  
        T->data = c;  
        T->lchild=NULL;//注意每次创建新节点时，子节点置空
        T->rchild=NULL;
        CreatBitTree(T->lchild);  
        CreatBitTree(T->rchild);  
    }  
}  
//将二叉树按照先序输出  
void PreOrderTraverse(BitTree T) {  
    if (T != NULL) {  
        cout << T->data << ' ';  
        PreOrderTraverse(T->lchild);  
        PreOrderTraverse(T->rchild);  
    }  
}  
//将二叉树按照中序输出  
void InOrderTraverse(BitTree T) {  
    if (T != NULL) {  
        InOrderTraverse(T->lchild);  
        cout << T->data << ' ';  
        InOrderTraverse(T->rchild);  
    }  
}  
//将二叉树按照后序输出  
void PostOrderTraverse(BitTree T) {  
    if (T != NULL) {  
        PostOrderTraverse(T->lchild);  
        PostOrderTraverse(T->rchild);  
        cout << T->data << ' ';  
    }  
}  
//二叉树的叶子节点个数  
int Leaf(BitTree T) {  
    if (T == NULL) return 0;  
    if (T->lchild == NULL && T->rchild == NULL) return 1;  
    return Leaf(T->lchild) + Leaf(T->rchild);  
}  
//二叉树的深度  
int Deepth(BitTree T) {  
    if (T == NULL) return 0;  
    int x = Deepth(T->lchild);  
    int y = Deepth(T->rchild);  
    return max(x,y) + 1;  
}  
int main(){  
	while(cin>>line){
        i=0;
        CreatBitTree(T);  
        InOrderTraverse(T); cout << endl; 
        InOrderTraverse(T); cout << endl;  
	    PostOrderTraverse(T); cout << endl;  
	    cout << Leaf(T) << endl;   
    }    
    return 0;  
}

5 哈夫曼树

6 二叉排序树

7 前缀树

8 搜索(DFS/BFS/A*)

8.1 暴力枚举

枚举算法是在分析问题时，逐个列举出所有可能情况，然后根据条件判断此答案是否合适，合适就保留，不合适就丢弃，最后得出一个结论。主要利用计算机运算速度快、精确度高的特点，对要解决问题的所有可能情况，一个不漏地进行检验，从中找出符合要求的答案，因此枚举法是通过牺牲时间来换区答案的全面性。

举例说明

有一个整数ABCD，一定是四位数，A不能为0，其中ABCD*4=DCBA。 其中A、B、C、D都是一个数字，求ABCD是多少?

如何解决这个问题呢？

我们可以直接枚举ABCD四个数的值

8.2 DFS深度优先搜索

在这里插入图片描述

9 图论算法(并查集、最小生成树、最短路径、拓扑)

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