B(x,y)=Γ(x)Γ(y)Γ(x+y).
其中
Γ(x)=∫+∞0e−ttx−1dt,B(x,y)=∫10tx−1(1−t)y−1dt.
证明
Γ(x)Γ(y)=∫+∞0e−ttx−1dt∫+∞0e−ssy−1ds=∫+∞0∫+∞0e−(s+t)tx−1sy−1dsdt=4∫+∞0∫+∞0e−(u2+v2)u2x−2v2y−2⋅uvdudv(t=u2,s=v2)=4∫+∞0∫+∞0e−(u2+v2)u2x−1v2y−1dudv=∫+∞−∞∫+∞−∞e−(u2+v2)|u|2x−1|v|2y−1dudv=∫+∞0∫2π0re−r2r2x−1|cosθ|2x−1r2y−1|sinθ|2y−1drdθ(u=rcosθ,v=rsinθ)=∫+∞0re−r2r2x+2y−2dr∫2π0|cosθ|2x−1|sinθ|2y−1dθ=12∫+∞0e−r2r2(x+y−1)dr2∫2π0|cosθ|2x−1|sinθ|2y−1dθ=12Γ(x+y)∫2π0|cosθ|2x−1|sinθ|2y−1dθ=Γ(x+y)⋅2∫π20cos2x−1θsin2y−1θdθ=Γ(x+y)⋅2∫10tx−12(1−t)y−1212t−12(1−t)−12dt(t=cos2θ,sinθ=(1−t)12,dt=−2t12(1−t)12dθ)=Γ(x+y)∫10tx−1(1−t)y−1dt=Γ(x+y)B(x,y).
故
B(x,y)=Γ(x)Γ(y)Γ(x+y).□
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