机器人动力学方程的性质

一个 n $n$连杆的机器人的动力学方程含有很多项，特别是全部是转动关节的机械臂，让人看着害怕。但是，机器人动力学方程含有一些有助于开发控制算法的重要性质，其中最重要的是反对称性、无源性、有界性和参数的线性性。

反对称性（skew aymmetry）和无源性(passivity)

• 在动力学方程中，矩阵N=D˙−2C$N=\dot D-2C$ 是反对称性的，即 nij=−nji $n_{ij}=-n_{ji}$
  由于存在多个矩阵 C $C$, 这里C$C$存特定值：
  

  cijk=12(∂bij∂qk+∂bik∂qj−∂bjk∂qi)
  $$c_{ijk}=\frac {1}{2}( \frac{\partial b_{ij}}{\partial q_k} + \frac{\partial b_{ik}}{\partial q_j} - \frac{\partial b_{jk}}{\partial q_i} )$$
  
  ∑j=1ncijq(j)=∑j=1n∑k=1ncijkq˙(k)q˙(j)=∑j=1n∑k=1n(∂bij∂qk−12∂bjk∂qi)q˙(k)q˙(j)
  $$\sum^n_{j=1}c_{ij} q_{(j)}= \sum^n_{j=1} \sum^n_{k=1} c_{ijk} \dot q_{(k)} \dot q_{(j)} = \sum^n_{j=1} \sum^n_{k=1} (\frac { \partial b_{ij} } {\partial q_k} -\frac{1}{2} \frac { \partial b_{jk}} {\partial q_i} ) \dot q_{(k)} \dot q_{(j)}$$

  由于 D˙(q) $\dot D(q)$ 的第 (k,j) $(k,j)$ 个元素 d˙kj=∑ni=1∂dkj∂qiq˙i $\dot d_{kj}= \sum ^n_{i=1} \frac{ \partial d_{kj}} { \partial q_i } \dot q_i$

  矩阵 N=D˙−2C $N=\dot D-2C$ 的第 (k,j) $(k,j)$个元素可以表示为：
  

  nkj=d˙kj−2ckj=∑i=1n[∂dij∂qk−∂dki∂qj]
  $$n_{kj}=\dot d_{kj}-2c_{kj}= \sum^n_{i=1} [ \frac {\partial d_{ij}} {\partial q_k } - \frac {\partial d_{ki}} { \partial q_j} ]$$
  可以看出：
  
  nij=−nji
  $$n_{ij}=-n_{ji}$$
  因此，矩阵 N $N$ 是反对称矩阵。对任意向量 ω$\omega$ , 有 ωTN(q，q˙)ω=0 $\omega^T N(q，\dot q) \omega =0$
  • 无源性
    机器人的总动能： H=12q˙TD(q)q˙+P(q) $H= \frac{1}{2} \dot q ^TD(q) \dot q +P(q)$，求导，得：
    
    H˙=q˙TD(q)q¨+12q˙TD˙(q)q˙+q˙T∂P∂q
    $$\dot H=\dot q ^T D(q) \ddot q + \frac{1}{2} \dot q ^T \dot D(q) \dot q + \dot q ^T \frac {\partial P}{\partial q}$$
    忽略摩擦和末端受力，带入动力学方程，可得，
    
    H˙=q˙Tτ+12q˙TN(q，q˙)q˙=q˙Tτ
    $$\dot H=\dot q^T \tau + \frac{1}{2} \dot q^T N(q，\dot q) \dot q =\dot q^T \tau$$
    在公式两边同时对时间积分，得：
    
    q˙T(t)τ(t)dt=H(T)−H(0)≥−H(0)
    $$\dot q^T(t) \tau (t) dt=H(T)-H(0) \geq -H(0)$$

  惯性矩阵的界限(bounded)

  对 n $n$ 连杆机器人，他的惯性矩阵是正定且对称的，对广义关节变量 q$q$， 令 0<λ1(q)≠⋯≠λn(q) $0<\lambda_1(q) \neq \cdots \neq \lambda_n(q)$ 表示 D(q) $D(q)$ 的 n $n$ 个特征值。
  显然易得：
  

  λ1(q)In∗n≤D(q)≤λn(q)In∗n
  $$\lambda_1(q) I_{n*n} \leq D(q) \leq \lambda_n(q) I_{n*n}$$
  如果所有的关节都是转动关节，那么惯性矩阵都是关于关节变量的正弦和余弦函数，因此对应的广义坐标是有界的。如果惯性矩阵具有一致的界限，可以找到常数 λm $\lambda_m$ 和 λM $\lambda_M$，满足：
  
  λ1(q)In∗n≤D(q)≤λn(q)In∗n<∝
  $$\lambda_1(q) I_{n*n} \leq D(q) \leq \lambda_n(q) I_{n*n} < \propto$$

  参数的线性化(linearity-in-the-parameter)

  存在 n∗ℓ $n*\ell$ 函数 Y(q,q˙,q¨) $Y(q, \dot q, \ddot q)$，以及 ℓ $\ell$ 维向量 Θ $\Theta$，使得欧拉方程可以写成：

  D(q)q¨+C(q,q˙)q˙+g(q)=Y(q,q˙,q¨)Θ
  $$D(q) \ddot q+ C(q, \dot q) \dot q+g(q) = Y(q, \dot q, \ddot q) \Theta$$
  函数 Y(q,q˙,q¨) $Y(q, \dot q, \ddot q)$被称为回归方程（regeessor）, 向量 Θ $\Theta$ 为参数向量。

  对每一个刚体，可以通过 总质量、惯性张量、质心来表示，总十个独立的参数，因此，对于一个 n $n$连杆机器人来说，最多有10n$10n$个参数，因为多关节机器人各连杆通过耦合连接在一起，实际的参数少于 10n $10n$
  事实上，寻找这样的方程是比较困难的。