本博文主要介绍camera的参数矩阵
目录
相机小孔模型
相机矩阵（内参）
相机矩阵（Intrinsic matrix）
图像坐标系
相机的外参矩阵（extrinsic matrix）
相机坐标系
世界坐标系
针孔模型是相机成像的基础模型，是理解后续相机矩阵内容的基础。下图描述了基本的小孔成像过程：
图中，X坐标系是针孔所在坐标系，Y坐标系为成像平面坐标系，P为空间一点，小孔成像使得P点在图像平面上呈现了一个倒立的像。
这幅图是前一幅图的俯视图，由三角相似关系可以得到：
写成矩阵的形式：
多了一个讨厌的负号（小孔成像上下颠倒，左右也颠倒），为了方便，大家把成像平面移到了和物体（P点）相同的一边，这样相似关系中就没有负号。
上图中Y1’为移动后的成像平面，这与移动前的比例关系是等效的。
写成矩阵形式：
成像过程就是三维空间坐标到二维图像坐标的变换，这是一个投影过程（降维打击）。相机矩阵就是建立这种三维到二维的投影关系。
如果我们用[xw yw zw ]来表示一个空间点的坐标，用[x y]来表示对应于成像平面上的一个图像点的坐标（不是像素坐标），那么这两个点肯定是有一种变换关系联系起来的，我们把这个变换关系记为P。
对于空间点：
那么有如下关系：
其中3x4的矩阵（这是为了满足4X1变换到3X1的要求），该矩阵就被称为相机矩阵（camera matrix ），或者相机投影矩阵（camera projection matrix）。
第一部分说小孔模型时没有使用齐次坐标，现在我们用齐次坐标再来看看小孔模型。
把它写成齐次形式：
在此，我们先暂时舍弃比例因子f/x3，只建立[y1 y2 1]与[x1 x2 x3]的关系，可以得到表达式
由于舍弃了一个比例因子，等式不再成立，因此使用~来表示二者之间的相似关系。
对于
至此由于
其中，
接下来给出像素坐标系的概念。
以图像左上角为原点建立以像素为单位的直接坐标系u-v。像素的横坐标u与纵坐标v分别是在其图像数组中所在的列数与所在行数。（在OpenCV中u对应x，v对应y）
图像点的表示是长度单位，不是像素，由于我们拿到的图像是以像素来衡量的，因此还需要将图像坐标系转化为像素坐标系。由于(u,v)只代表像素的列数与行数，而像素在图像中的位置并没有用物理单位表示出来，所以，我们还要建立以物理单位（如毫米）表示的图像坐标系x-y。将相机光轴与图像平面的交点（一般位于图像平面的中心处，也称为图像的主点（principal point）定义为该坐标系的原点O1，且x轴与u轴平行，y轴与v轴平行，假设(u0,v0)代表O1在u-v坐标系下的坐标，dx与dy分别表示每个像素在横轴x和纵轴y上的物理尺寸，则图像中的每个像素在u-v坐标系中的坐标和在x-y坐标系中的坐标之间都存在如下的关系：
其中，我们假设物理坐标系中的单位为毫米，那么dx的的单位为:毫米/像素。那么x/dx的单位就是像素了，即和u的单位一样都是像素。为了使用方便，可将上式用齐次坐标与矩阵形式表示为：
于是之前的相机矩阵又得添加一项：
上述推导中有一个假设前提，就是相机的感光元件是正方形的，感光元件的安装也是通过光轴中心的，但这不可能，于是会出现以下两个问题：
1、感光元件的基本单元不是方的，一个方形物体可能最后成像为一个矩形（甚至会有斜切效果，一般可以不考虑斜切因素）；
这导致上述表达式中，dx与dy不相等，
2、感光元件的中心与光轴通过的主点不重合，会使得正常投影的图像发生了一点小小的位移。这导致上述表达式中，u0与v0可能并不等于成像传感器长宽尺寸的一半。（理想状态下就是一半）
上述表达式中，等式右边的前三个矩阵合并，得到下式：
其中
或者只合并等式右边前两个矩阵，得到下式：
于是也有习惯将
内参矩阵的参数含义：
f：焦距，单位毫米，dx：像素x方向宽度，单位毫米，1/dx：x方向1毫米内有多少个像素
f/dx：使用像素来描述x轴方向焦距的长度
f/dy：使用像素来描述y轴方向焦距的长度
u0,v0,主点的实际位置，单位也是像素。
内参矩阵反应了相机自身的属性，各个相机是一不一样的，需要标定才能知道这些参数。
相机成像的几何关系可由图2表示。其中O点为摄像机光心（投影中心），Xc轴和Yc轴与成像平面坐标系的x轴和y轴平行，Zc轴为摄像机的光轴，和图像平面垂直。光轴与图像平面的交点为图像的主点O1,由点O与Xc,Yc,Zc轴组成的直角坐标系称为摄像机的坐标系。OO1为摄像机的焦距。
世界坐标系是为了描述相机的位置而被引入的，如上图中坐标系OwXwYwZw即为世界坐标系。平移向量t和旋转矩阵R可以用来表示相机坐标系与世界坐标系的关系。所以，假设空间点P在世界坐标系下的齐次坐标是(Xw,Yw,Zw,1)T，（这里T是上标转置），在相机坐标下的齐次坐标是(Xc,Yc,Zc,1)T,则存在如下的关系：
其中，R是3×3的正交单位矩阵（也成为旋转矩阵），t是三维的平移向量，矢量 ，M1是4×4矩阵。
外参矩阵是世界坐标系到相机坐标系的变换。既然是变换，我们就能够将其表达为[R t],齐次形式为
空间某个点p，其在世界坐标系下表示为[xw,yw,zw,1]，在相机坐标系下表示为[xc,yc,zc,1]，那么它们具有如下关系：
带入到相机矩阵表达式中可以得：
合并等式右边2、3两个矩阵：
到此，我们就看到了一个比较常见的内外参数矩阵的写法，等式右边，第一个矩阵为内参矩阵（3x3），第二个矩阵为外参矩阵（3x4），合起来就是相机矩阵，它建立了三维点齐次坐标到二维点齐次坐标的变换。
参考材料
https://blog.csdn.net/lingchen2348/article/details/83052214
