滑模控制率可由等效控制 u e q u_{eq} ueq和切换鲁棒控制 u s w u_{sw} usw构成。首先忽略不确定和干扰项，通过取 s ˙ = 0 \dot s =0 s˙=0得到等效项 u e q u_{eq} ueq，再令 u = u e q + u s w u = u_{eq}+u_{sw} u=ueq+usw使 s s ˙ ≤ − η ∣ s ∣ s\dot s\leq-\eta|s| ss˙≤−η∣s∣成立，得到鲁棒项 u s w u_{sw} usw。
考虑 n n n阶非线性系统： x ( n ) = f ( x , t ) + b u ( t ) + d ( t ) (1) x^{(n)}= f(x,t)+bu(t)+d(t)\tag1 x(n)=f(x,t)+bu(t)+d(t)(1) x = ( x , x ˙ , … , x n − 1 ) T , y = x (2) x = (x,\dot x,\dots,x^{n-1})^T,\ y=x\tag2 x=(x,x˙,…,xn−1)T, y=x(2)其中， b > 0 , x ∈ R n , u ∈ R , y ∈ R , d ( t ) b>0,x\in R^n,u\in R,y \in R,d(t) b>0,x∈Rn,u∈R,y∈R,d(t)为外加干扰， ∣ d ( t ) ∣ ≤ D |d(t)|\leq D ∣d(t)∣≤D。
当忽略不确定和干扰时 x ( n ) = f ( x , t ) + b u ( t ) (3) x^{(n)}= f(x,t)+bu(t)\tag3 x(n)=f(x,t)+bu(t)(3)令跟踪误差向量为 e = x d − x = ( e , e ˙ , … , e ( n − 1 ) ) T (4) e = x_d - x = (e,\dot e,\dots,e^{(n-1)})^T\tag4 e=xd−x=(e,e˙,…,e(n−1))T(4)选取切换函数 s ( x , t ) = c e = c 1 e + c 2 e ˙ + ⋯ + e ( n − 1 ) (5) s(x,t) = ce = c_1e+c_2\dot e+\dots+e^{(n-1)}\tag5 s(x,t)=ce=c1e+c2e˙+⋯+e(n−1)(5)令 s ˙ = 0 \dot s = 0 s˙=0则 s ˙ ( x , t ) = c 1 e ˙ + c 2 e ¨ + ⋯ + e n = c 1 e ˙ + c 2 e ¨ + ⋯ + c n − 1 e ( n − 1 ) + x d ( n ) − x ( n ) = ∑ i = 1 n − 1 c i e ( i ) + x d ( n ) − f ( x , t ) − b u ( t ) = 0 (6) \begin{aligned} \dot s(x,t) &= c_1\dot e+c_2\ddot e+\dots+e^n\\ &=c_1\dot e+c_2\ddot e+ \dots +c_{n-1}e^{(n-1)} +x_d^{(n)}-x^{(n)}\\ &=\sum_{i=1}^{n-1}c_ie^{(i)}+x_d^{(n)}-f(x,t)-bu(t) =0\end{aligned}\tag6 s˙(x,t)=c1e˙+c2e¨+⋯+en=c1e˙+c2e¨+⋯+cn−1e(n−1)+xd(n)−x(n)=i=1∑n−1cie(i)+xd(n)−f(x,t)−bu(t)=0(6)得到等效控制器 u e q = 1 b ( ∑ i = 1 n − 1 c i e ( i ) + x d ( n ) − f ( x , t ) ) (7) u_{eq}=\frac{1}{b}(\sum_{i=1}^{n-1}c_ie^{(i)}+x_d^{(n)}-f(x,t))\tag7 ueq=b1(i=1∑n−1cie(i)+xd(n)−f(x,t))(7)
为保证滑模条件成立，设计切换控制器： u s w = 1 b K s i g n ( s ) , K = D + η (8) u_{sw}=\frac{1}{b}Ksign(s),\ \ K = D + \eta \tag8 usw=b1Ksign(s), K=D+η(8)此时考虑干扰项 d ( t ) d(t) d(t)，将式（8）带回 s ˙ \dot s s˙得到 s ˙ = − K s i g n ( s ) − d ( t ) (9) \dot s = -Ksign(s)-d(t) \tag9 s˙=−Ksign(s)−d(t)(9)则 s s ˙ = − K ∣ s ∣ − d ( t ) ≤ − η ∣ s ∣ ≤ 0 (10) s\dot s = -K|s|-d(t)\leq-\eta|s|\leq 0\tag{10} ss˙=−K∣s∣−d(t)≤−η∣s∣≤0(10)仅当 s = 0 s = 0 s=0时， V ˙ = 0 \dot V = 0 V˙=0，因此系统是渐近稳定的。
被控对象如下：
x
¨
=
−
25
x
˙
+
133
u
+
d
(11)
\ddot x = -25\dot x+133u+d\tag{11}
x¨=−25x˙+133u+d(11)其中，
d
(
t
)
=
50
s
i
n
(
t
)
d(t) = 50sin(t)
d(t)=50sin(t)，理想位置指令
x
d
=
s
i
n
2
π
t
x_d = sin2\pi t
xd=sin2πt。
根据式（7）和（8）设计控制器，取
c
=
25
,
D
=
50
,
η
=
100
c = 25,D = 50,\eta = 100
c=25,D=50,η=100，得到控制律
u
=
1
133
(
e
˙
+
x
¨
d
−
25
x
2
+
(
D
+
η
)
s
i
g
n
(
s
)
)
(12)
u =\frac{1}{133}(\dot e+\ddot x_d-25x_2+(D+\eta)sign(s)) \tag{12}
u=1331(e˙+x¨d−25x2+(D+η)sign(s))(12)
simulink模型如下：
控制律程序：
function u = fcn(f,de,s,ddxd)
D = 50;
eta = 100;
b = 133;
c = 25;
K = D + eta;
ueq = (c*de + ddxd - f)/b;
usw = (sign(s)*K)/b;
u = ueq + usw;
位置跟踪及控制律如下图：
