1790-1980年间美国每隔10年的人口数量记录如下表所示。
| 年份 | 1790 | 1800 | 1810 | 1820 | 1830 | 1840 | 1850 | 1860 | 1870 | 1880 | 1890 | 1900 | 1910 | 1920 | 1930 | 1940 | 1950 | 1960 | 1970 | 1980 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 人口 ( × 1 0 6 ) \left (\times 10^{6} \right ) (×106) | 3.9 | 5.3 | 7.2 | 9.6 | 12.9 | 17.1 | 23.2 | 31.4 | 38.6 | 50.2 | 62.9 | 76.0 | 92.0 | 106.5 | 123.2 | 131.7 | 150.7 | 179.3 | 204.0 | 226.5 |
关于人口增长的模型常用的有马尔萨斯人口指数增长模型、Logistic增长模型以及改进的Logistic模型，它们常被用于预测人口增长。本次问题求解中除了使用这三种常用的人口增长模型外，还使用了BP神经网络模型来预测人口。
提出： 马尔萨斯模型来自于英国经济学家托马斯·罗伯特·马尔萨斯于1798年发表的《人口原理》。
马尔萨斯的人口论指出： 在没有生存资源限制的情况下，人口或生物种群的数量成指数增长。
定义： 关于人口或种群增长的模型。
模型的建立： 人口数量在单位时间内增长的百分比
r
r
r 是一定的，写成一个微分方程的形式，设
t
=
0
t = 0
t=0时刻的人口数量为
N
0
N_{0}
N0，则
t
t
t 时刻的总人口
N
t
N_{t}
Nt满足
1
N
t
d
N
t
d
t
=
r
⇒
N
t
=
N
0
e
r
t
\frac{1}{N_{t}}\frac{dN_{t}}{dt}=r\Rightarrow N_{t}=N_{0}e^{rt}
Nt1dtdNt=r⇒Nt=N0ert
马尔萨斯认为，如果人口长期不受控制的话，指数增长的速度会十分惊人，生存资源的增长速度将无法满足众多人口的生存需要，从而产生一系列人口问题，严重时甚至会爆发饥荒、战争和疾病来除去资源与环境无法承受的过剩人口。
马尔萨斯人口论自提出以来，就一直是一个备受争议的理论。例如：在受到资源环境限制的情况下，人口还能否做指数爆炸式的增长呢？假设资源环境能承受的人口数量为 K K K，则可以建立一个Logistic方程 1 N t d N t d t = r ( 1 − N t K ) \frac{1}{N_{t}}\frac{dN_{t}}{dt}=r\left (1-\frac{N_{t}}{K} \right ) Nt1dtdNt=r(1−KNt)
这个方程将得出仅在人口
N
t
<
<
K
N_{t}<<K
Nt<<K 时，
N
t
=
N
0
e
r
t
N_{t}=N_{0}e^{rt}
Nt=N0ert才是指数增长的。当接近
K
K
K时，人口的增长明显受到天花板
K
K
K的压制。虽然
N
t
>
K
N_{t}> K
Nt>K时确实会出现人口的负增长，但不过是平稳地趋近于平衡水平
K
K
K，而并不会发生马尔萨斯所担心的灾难性人口锐减的行为。下图给出了
K
K
K 随时间缓慢线性增加时，人口从不同的初条件以不同的生育率
r
r
r 增长的数值模拟结果。最终人口都达到了跟随
K
K
K（灰线）的线性增加行为。
那么是不是可以说由于生存资源
K
K
K 的算术级增长，人口实际上并不能长期持续地指数增长，而是也会适应
K
K
K 变为算术级增长，所以马尔萨斯其实在杞人忧天地担心一个伪命题？
逻辑斯蒂方程( Logistic Equation)为马尔萨斯( Malthus) 人口模型的推广。
虽然Logistic模型考虑了环境容纳量，认为增长率是随着人口的增加而递减的，但Logistic模型中的增长率是线性递减的。事实上，随着人口的增加，人口基数越来越大，出生率也是增大的，导致增长率的减小是逐渐缓慢的。因此，增长率的逐年递减是非线性的。所以需要对Logistic模型进行改进，使得增长率的变化是非线性的。
BP(back propagation)神经网络是1986年由Rumelhart和McClelland为首的科学家提出的概念，是一种按照误差逆向传播算法训练的多层前馈神经网络，是应用最广泛的神经网络。
BP神经网络是一种多层前馈神经网络，该网络的主要特点是：信号前向传播、误差反向传播。在前向传播中，输入信号从输入层经隐含层逐层处理，直至输出层，每一层的神经元状态只影响下一层神经元状态。如果输出层得不到期望输出，则转入反向传播，根据预测误差调整网络权值和阈值，从而使BP神经网络输出不断逼近期望输出。
BP可以用于数据预测，在已知过去和当前的数据下，可以对未来数据进行估计。
针对本次的题目使用了Malthus模型、Logistic模型、改进的Logistics模型、BP神经网络模型四种模型进行建模。
为了更清楚地反应各模型的预测准确度，令1790-2020年间预测人口数和实际人口数偏差之和为：
E
=
∑
t
=
0
24
∣
N
(
t
)
−
N
p
(
t
)
∣
E=\sum_{t=0}^{24} \left | N(t)-N_{p}(t) \right |
E=t=0∑24∣N(t)−Np(t)∣
其中， t = 0 , 1 , … , 24 t=0,1,…,24 t=0,1,…,24分别表示年份1790,1800,…,2020， N ( t ) N(t) N(t)和 N p ( t ) Np(t) Np(t)分别表示第 t t t个年份的实际人口和预测人口数量。
其中，
K
K
K表示最大环境容纳量。
求解该微分方程模型可解得第
t
t
t年的人口数量为
N
(
t
)
=
K
1
+
(
K
N
0
−
1
)
e
−
r
(
t
−
t
0
)
N\left ( t \right )=\frac{K}{1+\left ( \frac{K}{N_{0}} -1\right )e^{-r(t-t_{0})}}
N(t)=1+(N0K−1)e−r(t−t0)K
求解该微分方程模型可解得第 t t t年的人口数量为 N ( t ) = K [ ( N 0 K ) e − r ( t − t 0 ) l n K ] N(t)=K\left [ (\frac{N_{0}}{K})e^{\frac{-r(t-t_{0})}{lnK}} \right ] N(t)=K[(KN0)elnK−r(t−t0)]
拟合参数得：
k
=
1084
，
r
=
0.04687
k =1084，r =0.04687
k=1084，r=0.04687
%利用BP神经网络对人口进行预测
clear
clc
%%% 读取原始数据
num=xlsread('E:\MATLAB\R2012a\bin\数学建模\1790-1980间美国人口数据.xlsx'); %num返回的是excel中的数据
year=num(1,:);
population=num(2,:);
%%% 利用已知数据训练BP网络
x=year;
y=population;
net=newff(x,y,2); %生成输入、输出均为一个神经元，隐含层2个神经元的BP网络
net.trainParam.epochs = 1000; % 训练次数，这里设置为1000次(训练的最大次数)
net.trainParam.goal = 0.1; % 训练目标最小误差，这里设置为0.1
net.trainParam.lr = 0.01; % 学习速率，这里设置为0.01
net=train(net,x,y); %训练网络
%%% 预测1790-1980间人口数量
population_pre=sim(net,year);
plot(year,population,'*b','MarkerSize',8);hold on
plot(year,population_pre,'or','MarkerSize',8);hold on
plot(year,population,'b','LineWidth',2);hold on
plot(year,population_pre,'r','LineWidth',2);grid on
legend('人口自然增长','拟合曲线')
xlabel('年份')
ylabel('人口/百万')
title('利用BP神经网络进行人口预测')
%%% 预测1980-2030间人口数量
Year_pre=1790:10:2030;
Population_pre_BP=sim(net,Year_pre);% 在m文件中向Simulink模型传递参数，并运行模型，得到模型运行的结果数据
POPUS=[population,250.181,282.413,310.483,326.767];
errors=sum(abs(Population_pre_BP(1:end-1)-POPUS));
fprintf('总误差:%f\n',errors)
save Population_pre_BP Population_pre_BP
用1790-1980年间美国每隔10年的人口数量作为训练集去拟合模型，用拟合好的模型去预测1990-2030年间美国每隔10年的人口数量，并计算每个模型所预测的1790-2030年间美国每隔10年的人口数量与真实值之间的误差和 E E E。
| 年份 | 1990 | 2000 | 2010 | 2020 | 2030 |
|---|---|---|---|---|---|
| 人口 ( × 1 0 6 ) \left (\times 10^{6} \right ) (×106) | 250.181 | 282.413 | 310.483 | 326.767 | —— |
| 年份 | 1990 | 2000 | 2010 | 2020 | 2030 |
|---|---|---|---|---|---|
| 人口 ( × 1 0 6 ) \left (\times 10^{6} \right ) (×106) | 331.9474 | 414.5429 | 517.6900 | 646.5022 | 807.3656 |
经过预测后计算可得， Malthus模型预测的总误差为1070.944344(百万)。
| 年份 | 1990 | 2000 | 2010 | 2020 | 2030 |
|---|---|---|---|---|---|
| 人口 ( × 1 0 6 ) \left (\times 10^{6} \right ) (×106) | 231.9765 | 243.4314 | 252.8001 | 260.3193 | 266.2630 |
经过预测后计算可得， Logistic模型预测的总误差为265.616329(百万)。
| 年份 | 1990 | 2000 | 2010 | 2020 | 2030 |
|---|---|---|---|---|---|
| 人口 ( × 1 0 6 ) \left (\times 10^{6} \right ) (×106) | 248.8625 | 273.7884 | 299.3514 | 325.4116 | 351.8302 |
经过预测后计算可得， 改进的Logistic模型预测的总误差为67.551021(百万)。
| 年份 | 1990 | 2000 | 2010 | 2020 | 2030 |
|---|---|---|---|---|---|
| 人口 ( × 1 0 6 ) \left (\times 10^{6} \right ) (×106) | 252.1015 | 277.7805 | 303.0367 | 327.2741 | 349.9891 |
经过预测后计算可得， BP神经网络模型预测的总误差为54.471387(百万)。
四种模型对1990-2030年的美国人口进行预测的结果进行对比如上表所示，可以看出Malthus模型、Logistic模型、改进的Logistic模型、BP神经网络模型四种模型中Malthus模型的误差是最大的，而BP神经网络模型的误差是最小的，可以说明对这一时期的美国人口而言，BP神经网络模型的效果是比较好的。