如何找到覆盖R中一组点的给定部分的最小椭圆？

我在想：有没有一些功能/聪明的方法来找到smallest椭圆覆盖 R 中一组 2d 点的给定部分？ With smallest我的意思是面积最小的椭圆。

澄清：如果点数很大，我可以接受近似正确的解决方案（因为我猜精确的解决方案必须尝试点子集的所有组合）

这个问题可能听起来像问题的重复包含 R 中给定点百分比的椭圆 https://stackoverflow.com/questions/6655268/ellipse-containing-percentage-of-given-points-in-r但该问题的措辞方式所产生的答案并不会导致smallest椭圆。例如，使用给出的解决方案包含 R 中给定点百分比的椭圆 https://stackoverflow.com/questions/6655268/ellipse-containing-percentage-of-given-points-in-r:

require(car)
x <- runif(6)
y <- runif(6)
dataEllipse(x,y, levels=0.5)

得到的椭圆显然不是包含一半点的最小椭圆，我猜，这将是一个覆盖左上角三个点的小椭圆。

我想我有一个需要两个功能的解决方案，cov.rob来自MASS包装和ellipsoidhull来自cluster包裹。cov.rob(xy, quantile.used = 50, method = "mve")从 2d 点总数中找到大约“最佳”50 个点xy包含在最小体积椭圆中。然而，cov.rob不直接返回this椭圆，而是从最佳点估计的其他一些椭圆（目标是稳健地估计协方差矩阵）。为了找到实际的最小椭圆，我们可以给出最好的点ellipsoidhull找到最小椭圆，我们可以使用predict.ellipse得到定义椭圆外壳的路径坐标。

我不是 100% 确定这个方法是最简单的和/或它 100% 有效（感觉应该可以避免使用的第二步ellipsoidhull但我还没弄清楚如何。）。它似乎至少适用于我的玩具示例......

说得够多了，这是代码：

library(MASS)
library(cluster)

# Using the same six points as in the question
xy <- cbind(x, y)
# Finding the 3 points in the smallest ellipse (not finding 
# the actual ellipse though...)
fit <- cov.rob(xy, quantile.used = 3, method = "mve")
# Finding the minimum volume ellipse that contains these three points
best_ellipse <- ellipsoidhull( xy[fit$best,] )
plot(xy)
# The predict() function returns a 2d matrix defining the coordinates of
# the hull of the ellipse 
lines(predict(best_ellipse), col="blue")

看起来不错！您还可以检查ellipse对象以获取更多信息

best_ellipse
## 'ellipsoid' in 2 dimensions:
##  center = ( 0.36 0.65 ); squared ave.radius d^2 =  2 
##  and shape matrix =
##         x      y
## x 0.00042 0.0065
## y 0.00654 0.1229
##   hence, area  =  0.018 

这是一个方便的函数，可以将椭圆添加到现有的基本图形中：

plot_min_ellipse <- function(xy, points_in_ellipse, color = "blue") {
  fit <- cov.rob(xy, quantile.used = points_in_ellipse, method = "mve")
  best_ellipse <- ellipsoidhull( xy[fit$best,] )
  lines(predict(best_ellipse), col=color)
}

让我们在更多的点上使用它：

x <- runif(100)
y <- runif(100)
xy <- cbind(x, y)
plot(xy)
plot_min_ellipse(xy, points_in_ellipse = 50)