性质4 绝对可积性
若
f(x)
在
[a,b]
上可积，则
|f(x)|
也在
[a,b]
上可积，且
|∫baf(x)dx|≤∫ba|f(x)|dx
证明：
f(x)
在
[a,b]
上可积，则
f(x)
在
[a,b]
上有界，因此
|f(x)|
也在
[a,b]
上有界。
对于区间
[a,b]
的任意一个划分
P
， ∀i∈N,1≤i≤n,
令
Mi=sup{|f(x)|:x∈[xi−1,xi],},
mi=inf{|f(x)|:x∈[xi−1,xi]},
wi=Mi−mi,
令
M′i=sup{f(x):x∈[xi−1,xi],},
m′i=inf{f(x):x∈[xi−1,xi]},
w′i=M′i−m′i,
则：
∀ε>0,∃x^∈[xi−1,xi],
使得
|f(x^)|>Mi−ε2,
∃x~∈[xi−1,xi],
使得
|f(x~)|<mi+ε2,
易知
m′i≤f(x^),f(x~)≤M′i,
⇒m′i−M′i≤f(x^)−f(x~)≤M′i−m′i=w′i,
⇒|f(x^)−f(x~)|≤w′i,
因此
wi−ε=Mi−mi−ε
<|f(x^)|−|f(x~)|
≤||f(x^)|−|f(x~)||
≤|f(x^)−f(x~)|,
=w′i,
⇒wi≤w′i,
f(x)
在
[a,b]
上可积，则
∀ε>0,
存在区间
[a,b]
的划分
P
，使得
∑ni=1w′iΔxi<ε,
⇒∑ni=1wiΔxi≤∑ni=1w′iΔxi<ε,
因此
|f(x)|
也在
[a,b]
上可积。
易知
∀x∈[a,b],−|f(x)|≤f(x)≤|f(x)|,
由性质3，
−∫ba|f(x)|dx=∫ba[−|f(x)|]dx≤∫baf(x)dx≤∫ba|f(x)|dx,
因此
|∫baf(x)dx|≤∫ba|f(x)|dx
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