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约束非线性优化：几何意义&对偶形式

2023-05-16

h(x)=0借助老师的PPT对约束非线性优化问题的几何意义和对偶形式进行阐述。

一、几何意义

（1）等式约束

考虑只有等式约束h(x)的非线性优化问题，形式为：

 可视化结果如下图所示，红色曲线为等式约束，环线为目标函数等值面。达到最优解x*时，必定可以在此处借助Lagrange乘子完成梯度合成。

 （2）不等式约束

 约束条件换成不等式，此处只考虑一般形式的>=0约束：

 Lagrange函数为：

 可视化结果为：

 在最优解处完成了梯度合成，并且众多不等式约束满足互补松弛条件\lambda_ig_i(x)=0，即其中有一个必为0。

二、对偶形式

 对于原问题：

\large \mathbf{min} \ \ \ f(x) \\\mathbf{ \ \ \ \ s.t.} \ \ \ g_i(x)\geqslant 0,h_j(x)=0,x\in D

q对偶问题为：

\large \mathbf{max} \ \ \ \theta( w,v) \\\mathbf{ \ \ \ \ s.t.} \ \ \ w\geqslant 0

Lagrange对偶函数定义为L函数的下确界：

\large \theta( w,v) =inf{\left \{ f(x)-\sum_{i=1}^{m}w_ig_i(x)- \sum_{j=1}^{l}v_ih_j(x)|x\in D \right \}}

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