`std::sin` 最后一点是错误的

为了提高效率，我正在将一些程序从 Matlab 移植到 C++。两个程序的输出完全相同非常重要 (**)。

我面临着此操作的不同结果：

std::sin(0.497418836818383950)   = 0.477158760259608410 (C++)
sin(0.497418836818383950)        = 0.47715876025960846000 (Matlab)
N[Sin[0.497418836818383950], 20] = 0.477158760259608433 (Mathematica)

因此，据我所知，C++ 和 Matlab 都使用 IEEE754 定义的双精度算术。我想我在某处读到过 IEEE754 允许在最后一位出现不同的结果。使用mathematica来决定，似乎C++更接近结果。如何强制 Matlab 计算 sin 并精确到最后一位，以便结果相同？

在我的程序中，这种行为会导致很大的错误，因为数值微分方程求解器在最后一位不断增加这个错误。但是我不确定 C++ 移植版本是否正确。我猜即使 IEEE754 允许最后一位不同，也能以某种方式保证此误差不会变得更大当在更多 IEEE754 定义的双精度运算中使用结果时（因为否则，根据 IEEE754 标准正确的两个不同程序可能会产生完全不同的输出）。所以另一个问题是我的说法正确吗？

我想得到这两个粗体问题的答案。编辑：第一个问题很有争议，但不太重要，有人可以评论第二个问题吗？

注意：这不是打印错误，以防万一您想检查，这就是我获得这些结果的方法：

https://i.stack.imgur.com/XXH7g.png https://i.stack.imgur.com/XXH7g.png

注意（**）：我的意思是，最终的输出，即一些显示一些小数点后 4 位实数的计算结果，需要完全相同。我在问题中谈到的错误变得更大（因为更多的操作，Matlab和C++中的每一个都是不同的），所以最终的差异是巨大的）（如果你很好奇，想看看差异是如何开始变大的，这里是完整的输出[很快就会链接]，但这与问题无关）

首先，如果您的数值方法取决于 sin 到最后一位的精度，那么您可能需要使用任意精度库，例如 MPFR。

IEEE754 2008 标准不要求函数正确舍入（但它确实“推荐”）。一些 C libms 确实提供了正确舍入的三角函数：我相信 glibc libm 确实提供了（通常在大多数 Linux 发行版上使用），CRlibm 也是如此。大多数其他现代 libms 将提供 1 ulp 以内的三角函数（即真值两侧的两个浮点值之一），通常称为忠实地圆润，计算速度要快得多。

您打印的这些值实际上都不会以 IEEE 64 位浮点值的形式出现（即使四舍五入）：最接近的 3 个值（以全精度打印）是：

0.477158760259608 405451814405751065351068973541259765625

0.477158760259608 46096296563700889237225055694580078125

0.477158760259608 516474116868266719393432140350341796875

您可能需要的可能值是：

1. 小数点的精确正弦值 .497418836818383950，即

0.477158760259608 433132061388630377105954125778369485736356219...

（这似乎是 Mathematica 给出的）。

2. 最接近 .497418836818383950 的 64 位浮点数的精确 sin：

0.477158760259608 430531153841011107415427334794384396325832953...

在这两种情况下，上面列表中的第一个都是最接近的（尽管仅在 1 的情况下）。