该求和中的最大项比精度高约 10 个数量级double
: ~ 2.92e+20
相比于double
13 平方英尺或者。这些术语中的误差幅度本身比求和结果大约 30 个数量级。
因此,您的级数无法正确收敛也就不足为奇了,因为连续项(相反符号)可能不会按理论量抵消。即使使用一些数值技巧,例如 Kahan-Neumaier 求和以及在相加之前对项进行排序,结果仍然只能简化为~6000
。请注意,对于积极的情况,不会发生这种情况x
因为连续的任期不需要取消。
克服这个问题的一种方法是对x
,并使用乘方求幂来放大到正确的值x
.
更新:上述方法的实现:
// integer exponentiation by squaring (won't explain here)
double pow_square(double x, unsigned a)
{
double r = 1.0;
while (a > 0)
{
if (a % 2 == 1)
{
a--;
r *= x;
}
a /= 2;
x *= x;
}
return r;
}
// original method
double exp_original(double x, double e)
{
double sum = 0.0;
unsigned i = 0;
double term = 1.0;
do
{
sum += term;
term *= (x / (++i));
} while (fabs(term) > e);
return sum;
}
// new adaptive method
double exp_new(double x, double e)
{
static const double min_X = -3;
// if within limit, simply use original function
if (x >= min_X)
return exp_original(x, e);
// compute smallest possible scaling coefficient
unsigned s = (unsigned)(x / (-min_X) + 0.5);
double p = exp_original(x / s, e);
return pow_square(p, s);
}
测试范围大x
值证实了新方法处理极值(negative)情况要好得多:
x | exp (C-library) exp_original exp_new
-------------------------------------------------------------
-10 | 4.53999297625e-05 4.53998989141e-05 4.53999299001e-05
-30 | 9.35762296884e-14 6.10299992426e-06 9.35762292245e-14
-50 | 1.92874984796e-22 2041.8329629 1.92874983803e-22
-60 | 8.7565107627e-27 722745700.93 8.75651067587e-27
-80 | 1.80485138785e-35 2.45082011705e+17 1.80485137011e-35
-100 | 3.72007597602e-44 8.1446527451e+25 3.72007589785e-44
-150 | 7.17509597316e-66 -9.14622659954e+47 7.1750957953e-66
-200 | 1.38389652674e-87 7.69097143891e+69 1.38389648613e-87