欧拉角奇异性产生的原因

2023-05-16

1 欧拉角奇异性的原因.

1.1 奇异性的定义

奇异性，英文Singularity, wiki中的解释为

　　In mathematics, a singularity is in general a point at which a given mathematical object is not defined, or a point of an exceptional set where it fails to be well-behaved in some particular way, such as differentiability.

翻译成中文为

　　数学中，奇异性通常指的是在一个点处，某个数学对象未被定义，或者一个集合中的某个点处的某个数学特性不好，比如不可微．

这个解释还是比较抽象。我们从Singularity 这个词的本身来看，它对应的形容词为Singular, 既有“单独的，单数的”，也有“奇特的，奇怪的”意思。而“奇异性” 作为从 Singularity 翻译过来的词，简单来说它就是指在某一点处，研究对象的性质比较奇怪。

1.2 欧拉角的奇异性问题

欧拉角有不同的描述方法，详见wiki，这里用常见的来描述飞机姿态角为例来说明，即绕着内部坐标系(intrinsic)或者机体坐标系，旋转顺序为3-2-1的姿态角描述，如图１，其中x-y-z为地面坐标系, $\psi,\theta,\psi$ 分别为偏航角，俯仰角，滚转角．

首先，我们来考虑这样一个问题

给定一个姿态，是否只有一种旋转方法使得地面坐标系 x,y,z 轴与飞行器机体坐标系的 x,y,z 轴重合，也即无人机是否只有一种 $\psi,\theta,\psi$ 的角度组合从初始姿态到给定姿态？

答案是否定的，考虑一种特殊情况，当机头向上时，即飞机呈现竖直向上飞时的姿态时，此时， $\theta$ 为 $\pi/2$ , 但是偏航角和滚装角有多种组合方式，比如， $\psi=\pi/2, \phi=0$ 或 $\psi=\pi, \phi=-\pi/2$ , 如下图

下面给出数学上的严格推导，导出欧拉角在某些特殊位置存在不唯一的解．这里将借助于旋转矩阵，即

$R_x(\phi)=\begin{bmatrix} 1& 0 & 0\\ 0& cos(\phi) & sin(\phi)\\ 0& -sin(\phi)& cos(\phi) \end{bmatrix}$

$R_y(\theta)=\begin{bmatrix} cos(\theta) & 0 & -sin(\theta)\\ 0 & 1 & 0\\ sin(\theta) & & cos(\theta) \end{bmatrix}$

$R_z(\psi)=\begin{bmatrix} cos(\psi) & sin(\psi) & 0\\ -sin(\psi) & cos(\psi) & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

$R=R_x(\phi)\cdot R_y(\theta)\cdot R_z(\psi)=\begin{bmatrix} cos(\theta)cos(\psi) & cos(\psi)sin(\theta)sin(\phi)+sin(\psi)cos(\phi) &-cos(\psi)sin(\theta)cos(\phi)+sin(\psi)sin(\phi) \\ -cos(\theta)sin(\psi)& -sin(\psi)sin(\theta)sin(\phi)+cos(\psi)cos(\phi)&sin(\psi)sin(\theta)cos(\phi)+cos(\psi)sin(\phi) \\sin(\theta) & -sin(\phi)cos(\theta)&cos(\phi)cos(\theta) \end{bmatrix} (1)$

由地面坐标系到给定的飞机姿态可以得到唯一的旋转矩阵 $R$ ，详见[3]．但从 $R$ 是否可以推出存在唯一的 $\psi,\theta,\psi$ 呢，如果是，则从地面坐标系到给定的飞机姿态可以推出唯一的欧拉角，但是根据上面的举例可以发现答案是否定的．那么我们现在尝试从 $R$ 来推出 $\psi,\theta,\psi$ ，记

$R=\begin{bmatrix} r_{11} & r_{12} &r_{13} \\ r_{21} & r_{22} &r_{23} \\ r_{31} & r_{32} &r_{33} \end{bmatrix} (2)$

则由(1) 可得

$\theta=arcsin(r_{31})$

$\phi=arctan2(-r_{32},r_{33}) \quad (3)$

$\psi=arctan2(-r_{21},r_{11})$

当 $\theta=\pm \pi/2$ 时，

$R=\begin{bmatrix} 0 &sin(\psi \pm \phi) & -cos(\psi \pm \phi)\\ 0& cos(\psi \pm \phi)& sin(\psi \pm \phi)\\ \pm 1 & 0& 0\end{bmatrix}$

角度 $\psi,\phi$ ,不再能从(3)求出, 而从 $R$ 的右上角的矩阵只可以推出 $\psi \pm \phi$ ，即此时存在多个解．即从 $R$ 求出唯一 $\psi,\theta,\psi$ 的性质不能保证，此时把这种情况成为奇异．

参考文献

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Singularity_(mathematics)

[2] https://en.wikipedia.org/wiki/Euler_angles

[3] https://en.wikipedia.org/wiki/Rotation_matrix#Rotation_matrix_from_axis_and_angle

[4] https://en.wikipedia.org/wiki/Rotation_formalisms_in_three_dimensions#Conversion_formulae_between_formalisms

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