左特征向量在 scipy 中没有给出正确的（马尔可夫）平稳概率

给定以下马尔可夫矩阵：

import numpy, scipy.linalg
A = numpy.array([[0.9, 0.1],[0.15, 0.85]])

平稳概率存在且等于[.6, .4]。通过取矩阵的大幂可以很容易地验证这一点：

B = A.copy()
for _ in xrange(10): B = numpy.dot(B,B)

Here B[0] = [0.6, 0.4]。到目前为止，一切都很好。根据维基百科 http://en.wikipedia.org/wiki/Stochastic_matrix:

平稳概率向量被定义为在转移矩阵的应用下不改变的向量；也就是说，它被定义为概率矩阵的左特征向量，与特征值 1 相关：

所以我应该能够计算出left的特征向量A特征值为 1，这也应该给我平稳概率。Scipy的实现eig http://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.linalg.eig.html#scipy.linalg.eig有一个 left 关键字：

scipy.linalg.eig(A,left=True,right=False)

Gives:

(array([ 1.00+0.j,  0.75+0.j]), array([[ 0.83205029, -0.70710678],
   [ 0.5547002 ,  0.70710678]]))

这表明主导左特征向量是：[0.83205029, 0.5547002]。我读错了吗？我如何获得[0.6, 0.4]使用特征值分解？

The [0.83205029, 0.5547002]只是[0.6, 0.4]乘以~1.39。

尽管从“物理”角度来看，您需要其分量之和等于 1 的特征向量，按某个因子缩放特征向量不会改变它的“特征” http://en.wikipedia.org/wiki/Eigenvector:

If , then obviously

所以，要得到[0.6, 0.4]你应该做：

>>> v = scipy.linalg.eig(A,left=True,right=False)[1][:,0]
>>> v
array([ 0.83205029,  0.5547002 ])
>>> v / sum(v)
array([ 0.6,  0.4])