背包多重约束

我有一个动态规划问题，我花了几个小时研究但没有结果。

第一部分很简单：你有一背包物品，你必须最大化这些物品的价值，同时将它们保持在一定的重量以下。

问题的第二部分是相同的，只是现在也有一个项目限制。例如：

您可以放入袋子中的物品的最大价值是多少，以便在重量和物品限制的情况下价值最大化？

我不知道如何实现这个问题的第二部分，我正在寻找一个通用算法。

在动态规划中solution http://www.geeksforgeeks.org/knapsack-problem/如果没有项目限制，您将拥有 2D 矩阵，其中 Y 轴是项目索引，X 轴是重量。然后对于每个项目，您选择之间的最大重量对

• 如果物品重量
• 不含物品的重量值

以下是 Python 标准解决方案的示例：

def knapsack(n, weight, values, weights):
    dp = [[0] * (weight + 1) for _ in range(n + 1)]

    for y in range(1, n + 1):
        for x in range(weight + 1):
            if weights[y - 1] <= x:
                dp[y][x] = max(dp[y - 1][x],
                               dp[y - 1][x - weights[y - 1]] + values[y - 1])
            else:
                dp[y][x] = dp[y - 1][x]

    return dp[-1][-1]

现在，当您添加项目限制时，您必须选择每个项目的最大值、值、使用的项目数量三元组

• 如果物品重量
• 重量值和排除物品的n件物品

为了表示项目数量，您只需将第三个维度添加到之前使用的表示已使用项目数量的矩阵中即可：

def knapsack2(n, weight, count, values, weights):
    dp = [[[0] * (weight + 1) for _ in range(n + 1)] for _ in range(count + 1)]
    for z in range(1, count + 1):
        for y in range(1, n + 1):
            for x in range(weight + 1):
                if weights[y - 1] <= x:
                    dp[z][y][x] = max(dp[z][y - 1][x],
                                      dp[z - 1][y - 1][x - weights[y - 1]] + values[y - 1])
                else:
                    dp[z][y][x] = dp[z][y - 1][x]

    return dp[-1][-1][-1]

简单演示：

w = 5
k = 2
values = [1, 2, 3, 2, 2]
weights = [4, 5, 1, 1, 1]
n = len(values)

no_limit_fmt = 'Max value for weight limit {}, no item limit: {}'
limit_fmt = 'Max value for weight limit {}, item limit {}: {}'

print(no_limit_fmt.format(w, knapsack(n, w, values, weights)))
print(limit_fmt.format(w, k, knapsack2(n, w, k, values, weights)))

Output:

Max value for weight limit 5, no item limit: 7
Max value for weight limit 5, item limit 2: 5

请注意，您可以在内存消耗方面对示例进行一些优化，因为将第 z 项添加到解决方案时，您只需要知道 z - 1 项的解决方案。此外，您还可以检查是否可以将 z 件物品放入重量限制以下，如果不能，则相应地减少物品限制。