我的目的是证明霍纳规则是正确的。为此,我将霍纳当前计算的值与“实”多项式的值进行比较。
所以我写了这段代码:
package body Poly with SPARK_Mode is
function Horner (X : Integer; A : Vector) return Integer is
Y : Integer := 0;
Z : Integer := 0 with Ghost;
begin
for I in reverse A'First .. A'Last loop
pragma Loop_Invariant (Y * (X ** (I - A'First + 1)) = Z);
Y := A(I) + Y * X;
Z := Z + A(I) * (X ** (I - A'First));
end loop;
pragma Assert (Y = Z);
return Y;
end Horner;
end Poly;
这应该证明不变性。不幸的是,gnatprove 告诉我:
cannot prove Y * (X ** (I - A'First + 1)) = Z
e.g. when A = (1 => 0, others => 0) and A'First = 0 and A'Last = 1 and I = 0 and X = 1 and Y = -1 and Z = 0
在这种情况下 Y=-1 是如何工作的?您有任何想法如何解决这个问题吗?
这里的反例是虚假的,它并不对应于真正的无效执行。该算法对于证明者来说过于复杂,这导致循环不变性保持未被证明,并且导致虚假的反例。
要调查此类未经证明的检查,您必须进入证明属性的“自动活动”模式,这需要将属性分解为较小的属性,直到自动证明者可以处理较小的步骤,或者您可以隔离未经证明的基本属性您可以在引理中隔离它,您可以单独验证它。
这里我在迭代开始时为 Y 的值引入了一个幽灵变量 YY,并将循环不变量分解为越来越小的断言,这表明问题出在求幂 (X ** (I - A'First + 1) = X * (X ** (I - A'First)) 我也在断言中隔离:
package body Poly with SPARK_Mode is
function Horner (X : Integer; A : Vector) return Integer is
Y : Integer := 0;
Z : Integer := 0 with Ghost;
YY : Integer with Ghost;
begin
for I in reverse A'First .. A'Last loop
pragma Loop_Invariant (Y * (X ** (I - A'First + 1)) = Z);
YY := Y;
Y := A(I) + Y * X;
Z := Z + A(I) * (X ** (I - A'First));
pragma Assert (Z = YY * (X ** (I - A'First + 1)) + A(I) * (X ** (I - A'First)));
pragma Assert (X ** (I - A'First + 1) = X * (X ** (I - A'First)));
pragma Assert (Z = YY * X * (X ** (I - A'First)) + A(I) * (X ** (I - A'First)));
pragma Assert (Z = (YY * X + A(I)) * (X ** (I - A'First)));
pragma Assert (Z = Y * (X ** (I - A'First)));
end loop;
pragma Assert (Y = Z);
return Y;
end Horner;
end Poly;
现在,所有断言和循环不变式都使用 SPARK Community 2020 中的 --level=2 进行证明。当然,有些断言是不需要的,因此您可以删除它们。
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