使用 lsqcurvefit 进行拟合

我想将一些数据拟合到洛伦兹函数，但当我使用不同数量级的参数时，我发现拟合存在问题。

这是我的洛伦兹函数：

function [ value ] = lorentz( x,x0,gamma,amp )
    value = amp * gamma^2 ./ ((x-x0).^2 + gamma^2);
end

现在是生成示例数据的脚本：

x = linspace(2e14,6e14,200);
x0 = 4.525e14;
gamma = 0.5e14;
amp = 2e-14;

y = lorentz(x,x0,gamma,amp);

以及将洛伦兹拟合到样本数据的脚本：

params = [4.475e14;0.4e14;1.8e-14];
opts = optimset('TolFun',1e-60,'TolX',1e-50,'Display','Iter');
fitfunc = @(params,x) lorentz(x,params(1),params(2),params(3));
fitparams = lsqcurvefit(fitfunc,params,x,y,[],[],opts)

figure(1);hold on;
plot(x,y,'.');
plot(x,lorentz(x,params(1),params(2),params(3)),'--');
plot(x,lorentz(x,fitparams(1),fitparams(2),fitparams(3)));
hold off;

这仅改变最后一个参数（最小的，即幅度）。如果我保留所有指数，它就会按预期工作。我认为需要对选项进行一些微调，但我不知道如何进行。有什么想法如何做到这一点？

正如您所建议的，只要您的参数变化超过 28 (!) 个数量级，您就会遇到数值问题。例如，LSQCURVEFIT 将尝试并估计适当的梯度步长，并且这些计算可能对数值稳定性敏感（取决于实际实现 - 请参阅http://en.wikipedia.org/wiki/Levenberg%E2%80%93 Marquardt 算法 http://en.wikipedia.org/wiki/Levenberg%E2%80%93Marquardt_algorithm了解这一切是如何完成的摘要）。

根据我的经验，您需要找到一种方法来标准化输入参数，使它们更具可比性。例如，您可以获取所有值的日志，然后在目标函数中对它们进行 exp() 。

params = log([4.475e14;0.4e14;1.8e-14])

and

function [ value ] = lorentz( x,x0,gamma,amp )
    gamma = exp(gamma); 
    amp = exp(amp);
    x0 = exp(x0);
    value = amp * gamma^2 ./ ((x-x0).^2 + gamma^2);
end

这可能会带来其他不稳定因素，但它应该可以帮助您入门。