在 C# 整数运算中，a/b/c 是否始终等于 a/(b*c)？

设a、b和c为非大正整数。对于 C# 整数算术，a/b/c 是否始终等于 a/(b * c)？对我来说，在 C# 中它看起来像：

int a = 5126, b = 76, c = 14;
int x1 = a / b / c;
int x2 = a / (b * c);

所以我的问题是：x1 == x2对于所有 a、b 和 c？

我非常喜欢这个问题，所以我把它作为主题我的博客2013年6月4日 http://ericlippert.com/2013/06/04/an-integer-division-identity/。感谢您提出的好问题！

大箱子很容易得到。例如：

a = 1073741823; 
b = 134217727;
c = 134217727;

because b * c溢出为负数。

我想补充一点的是，在检查算术， 和...之间的不同a / (b * c) and (a / b) / c可能是正常运行的程序和崩溃的程序之间的区别。如果产品b and c溢出整数的边界，那么前者将在检查的上下文中崩溃。

对于小的正整数，例如，小到足以适合短路，则应保持恒等式。

蒂莫西·希尔兹 (Timothy Shields) 刚刚发布了一份证明；我在这里提出一个替代证明。假设这里的所有数字都是非负整数并且没有任何操作溢出。

整数除法x / y找到值q这样q * y + r == x, where 0 <= r < y.

所以划分a / (b * c)找到值q1这样

q1 * b * c + r1 == a

where 0 <= r1 < b * c

该部门( a / b ) / c首先找到值qt这样

qt * b + r3 == a

然后找到值q2这样

q2 * c + r2 == qt

所以将其替换为qt我们得到：

q2 * b * c + b * r2 + r3 == a

where 0 <= r2 < c and 0 <= r3 < b.

两个相同的东西彼此相等，所以我们有

q1 * b * c + r1 == q2 * b * c + b * r2 + r3

Suppose q1 == q2 + x对于某个整数x。将其代入并求解x:

q2 * b * c + x * b * c + r1 = q2 * b * c + b * r2 + r3
x  = (b * r2 + r3 - r1) / (b * c)

where

 0 <= r1 < b * c
 0 <= r2 < c
 0 <= r3 < b

Can x大于零？不，我们有不平等：

 b * r2 + r3 - r1 <= b * r2 + r3 <= b * (c - 1) + r3 < b * (c - 1) + b == b * c

所以该分数的分子总是小于b * c, so x不能大于零。

Can x小于零？不，通过类似的论证，留给读者。

因此整数x为零，因此q1 == q2.