估算缺失数据，同时强制相关系数保持不变

考虑以下（excel）数据集：

m   |   r
----|------
2.0 | 3.3
0.8 |   
    | 4.0
1.3 |   
2.1 | 5.2
    | 2.3
    | 1.9
2.5 | 
1.2 | 3.0
2.0 | 2.6

我的目标是使用以下条件填充缺失值：

将上述两列之间的成对相关性表示为 R（大约 0.68）。将相关性表示为 R*after空单元格已被填充。填写表格使 (R - R*)^2 = 0。这就是，我想保持数据的相关结构完整。

到目前为止，我已经使用 Matlab 完成了：

clear all;

m = xlsread('data.xlsx','A2:A11') ;
r = xlsread('data.xlsx','B2:B11') ;

rho = corr(m,r,'rows','pairwise');

x0 = [1,1,1,1,1,1];
lb = [0,0,0,0,0,0];
f = @(x)my_correl(x,rho);

SOL = fmincon(f,x0,[],[],[],[],lb)

其中函数my_correl is:

function X = my_correl(x,rho)

sum_m = (11.9 + x(1) + x(2) + x(3));
sum_r = (22.3 + x(1) + x(2) + x(3));
avg_m = (11.9 + x(1) + x(2) + x(3))/8;
avg_r = (22.3 + x(4) + x(5) + x(6))/8;
rho_num = 8*(26.32 + 4*x(1) + 2.3*x(2) + 1.9*x(3) + 0.8*x(4) + 1.3*x(5) + 2.5*x(6)) - sum_m*sum_r;
rho_den = sqrt(8*(22.43 + (4*x(1))^2 + (2.3*x(2))^2 + (1.9*x(3))^2) - sum_m^2)*sqrt(8*(78.6 + (0.8*x(4))^2 + (1.3*x(5))^ + (2.5*x(6))^2) - sum_r^2);

X = (rho - rho_num/rho_den)^2;

end

该函数手动计算相关性，其中每个缺失数据都是一个变量x(i).

问题：我的实际数据集有超过 20,000 个观察值。我无法手动创建 rho 公式。

如何填写我的数据集？

注 1：我愿意使用 Python、Julia 或 R 等替代语言。Matlab 只是我的默认语言。

注2：回答完将获得100分奖励。从现在开始承诺。

这就是我的处理方法，并提供了 R 中的实现：

没有唯一的解决方案来估算缺失的数据点，使得完整（估算）数据的成对相关性等于不完整数据的成对相关性。因此，为了找到“好的”解决方案而不仅仅是“任何”解决方案，我们可以引入一个附加标准，即完整的估算数据也应与原始数据共享相同的线性回归。这引导我们采用一种相当简单的方法。

1. 计算原始数据的线性回归模型。
2. 找到恰好位于该回归线上的缺失值的估算值。
3. 为该回归线周围的估算值生成残差的随机散布
4. 缩放估算残差以强制完整估算数据的相关性等于原始数据的相关性

R 中的解决方案如下：

library(data.table)
set.seed(123)

rho = cor(dt$m,dt$r,'pairwise')

# calculate linear regression of original data
fit1 = lm(r ~ m, data=dt)
fit2 = lm(m ~ r, data=dt)
# extract the standard errors of regression intercept (in each m & r direction)
# and multiply s.e. by sqrt(n) to get standard deviation 
sd1 = summary(fit1)$coefficients[1,2] * sqrt(dt[!is.na(r), .N])
sd2 = summary(fit2)$coefficients[1,2] * sqrt(dt[!is.na(m), .N])

# find where data points with missing values lie on the regression line
dt[is.na(r), r.imp := coefficients(fit1)[1] + coefficients(fit1)[2] * m] 
dt[is.na(m), m.imp := coefficients(fit2)[1] + coefficients(fit2)[2] * r]

# generate randomised residuals for the missing data, using the s.d. calculated above
dt[is.na(r), r.ran := rnorm(.N, sd=sd1)] 
dt[is.na(m), m.ran := rnorm(.N, sd=sd2)] 

# function that scales the residuals by a factor x, then calculates how close correlation of imputed data is to that of original data
obj = function(x, dt, rho) {
  dt[, r.comp := r][, m.comp := m]
  dt[is.na(r), r.comp := r.imp + r.ran*x] 
  dt[is.na(m), m.comp := m.imp + m.ran*x] 
  rho2 = cor(dt$m.comp, dt$r.comp,'pairwise')
  (rho-rho2)^2
}

# find the value of x that minimises the discrepencay of imputed versus original correlation
fit = optimize(obj, c(-5,5), dt, rho)

x=fit$minimum
dt[, r.comp := r][, m.comp := m]
dt[is.na(r), r.comp := r.imp + r.ran*x] 
dt[is.na(m), m.comp := m.imp + m.ran*x] 
rho2 = cor(dt$m.comp, dt$r.comp,'pairwise')
(rho-rho2)^2  # check that rho2 is approximately equal to rho

作为最终检查，计算完整估算数据的线性回归 并绘图以显示回归线与原始数据相同。请注意，下图适用于下面所示的大数据集，以演示此方法在大数据上的使用。

fit.comp = lm(r.comp ~ m.comp, data=dt)
plot(dt$m.comp, dt$r.comp)
points(dt$m, dt$r, col="red")
abline(fit1, col="green")
abline(fit.comp, col="blue")
mtext(paste(" Rho =", round(rho,5)), at=-1)
mtext(paste(" Rho2 =", round(rho2, 5)), at=6)

DATA

OP 示例中的原始玩具数据：

dt=structure(list(m = c(2, 0.8, NA, 1.3, 2.1, NA, NA, 2.5, 1.2, 2), 
                  r = c(3.3, NA, 4, NA, 5.2, 2.3, 1.9, NA, 3, 2.6)), 
             .Names = c("m", "r"), row.names = c(NA, -10L), 
             class = c("data.table", "data.frame"))

更大的数据集来演示大数据

dt = data.table(m=rnorm(1e5, 3, 2))[, r:=1.5 + 1.1*m + rnorm(1e5,0,2)]
dt[sample(.N, 3e4), m:=NA]
dt[sample(which(!is.na(m)), 3e4), r := NA]