生成所有可能的树

给定以下数据类型定义：

data FormTree = Empty | Node FormTree FormTree deriving Show

我想编写一个函数，它生成一个无限列表，其中包含按长度排序的所有可能的树，例如节点数量。

下面的代码几乎满足了我的需要，但它只是通过每次插入额外的节点来使右侧的树下降，但我需要它在两侧之间交替。

allPossibleTrees :: [FormTree]
allPossibleTrees = Empty : [Node x y | x <- recursive, y <- recursive]
    where recursive = allPossibleTrees

执行中

take 5 allPossibleTrees

gives:

[Empty,Node Empty Empty,Node Empty (Node Empty Empty),Node Empty (Node Empty (Nodes Empty Empty)),Node Empty (Node Empty (Node Empty (Node Empty Empty)))]

但它应该是这样的：

[Empty,Node Empty Empty,Node (Node Empty Empty) Empty,Node Empty (Node Empty Empty),Node (Node Empty Empty) (Node Empty Empty)]

这是一个很好的技巧，让人想起标准的斐波那契数字技巧。我们将建立一个惰性列表；列表中的每个成员都是具有给定节点数的所有树的列表。只有一棵树，没有节点，Empty，这将作为我们的基本案例。建造所有的树n节点，我们假设我们已经知道如何构建树0, 1, 2, ..., n-1节点。然后我们将不确定地选择一组总和为n-1并卡住了Node on top.

In code:

import Control.Monad
import Data.List

sizes :: [[FormTree]]
sizes = [Empty] : (map go . drop 1 . inits) sizes where
    go smaller = do
      (ls, rs) <- zip smaller (reverse smaller)
      liftM2 Node ls rs

那么我们可以简单地定义allPossibleTrees = concat sizes如果需要的话。前几条条目：

*Main> mapM_ print (take 4 sizes)
[Empty]
[Node Empty Empty]
[Node Empty (Node Empty Empty),Node (Node Empty Empty) Empty]
[Node Empty (Node Empty (Node Empty Empty)),Node Empty (Node (Node Empty Empty) Empty),Node (Node Empty Empty) (Node Empty Empty),Node (Node Empty (Node Empty Empty)) Empty,Node (Node (Node Empty Empty) Empty) Empty]

我们可以进行快速健全性检查：

*Main> take 10 (map length sizes)
[1,1,2,5,14,42,132,429,1430,4862]

...这确实是前十名加泰罗尼亚语号码 http://oeis.org/A000108，所以我们可能是对的！