以下内容均为个人认为需要掌握之处，可能不会涵盖一些太基础的理论，但是会提供一些参考的链接供大家学习（超长篇警告）。
无人机领域中最重要的就是惯性坐标系和机体坐标系。
因为在现实中通常需要在平面控制无人机，因此NED坐标系通常作为无人机领域的导航坐标系使用。
NED坐标系如下图绿色坐标系，即北东地坐标系，三个方向始终保持不变。
机体坐标系始终与无人机本体固连，同时也表明了无人机当前的姿态。其原点位于无人机的重心，X轴朝向机头，Y轴垂直于X轴指向机身右方，Z轴按照右手法则正交于X和Y轴（这边先关注轴即可，旋转和角度表示后面需要再统一一下标准）。
通常无人机的姿态一般由惯性测量单元IMU来获取，其中陀螺仪用于获取角速度，加速度计顾名思义获取3轴的加速度，如果带有磁力计，则可以获取到磁场方向。
后面过程NED坐标系会简称为n系，机体坐标系会简称为b系。
举例来说，在n系下我们获取到的是无人机的“东南西北”的绝对位置信息，而在b系下，我们会要求无人机进行“前后左右”的增量式运动，如何将我们给机体的期望运动与导航给我们反馈的n系下的位置、姿态等绝对信息联系起来，就是我们后面要做的事情。
参考资料：
无人机运动学控制中的坐标系，及惯性坐标系与机体坐标系之间的矩阵转换 欧拉角
[飞控]聊点姿态(三)-什么是地理系和机体系？
借一张已经被用烂了的图简单来说一下欧拉角的一些基本概念：
在无人机领域中，我们通常使用的欧拉角旋转方式表示为（根据国内标准统一符号，记住此处的角度符号，会在旋转矩阵中用到）：
以下内容来自全权老师的《多旋翼飞行器设计与控制》。
其中，向量 ω ω ω 表示的是机体的旋转角速度， W W W表示旋转过程， Θ Θ Θ表示RPY角，则对应的微分表示的即是姿态变化率（原谅我在编辑器里面打不出 Θ Θ Θ上的一点）。
参考资料：
做控制要知道的刚体旋转知识（三）欧拉角
《多旋翼飞行器设计与控制》5.2.1欧拉角小节（P90-91）
旋转矩阵表示的是坐标系的旋转
推导就不推导了，直接给出结论，常用的绕X、Y、Z轴方向的旋转矩阵如下（注意推导时根据旋转方向会有正负号的差异）。我们通常用Φ，θ，ψ表示绕X、Y、Z轴的旋转角度。
绕轴顺序不同的话最后得到的旋转矩阵也会不同，在无人机领域通常是按照Z-Y-X进行旋转的，结论直接给出。
从n系向b系旋转的旋转矩阵
R
n
b
R{^b_n}
Rnb（顺序Z-Y-X）
明确旋转矩阵自身为一个正交矩阵（转置与逆相等）
那么b系向n系旋转的旋转矩阵正好为
R
b
n
=
R
n
b
T
=
R
n
b
−
1
R{^n_b}= R{^b_n}^T= R{^b_n}^{-1}
Rbn=RnbT=Rnb−1
来源：[飞控]姿态误差(二)-旋转矩阵做差
通常欧拉角下姿态的误差能够通过期望角和当前角相减得到，但是对于由旋转矩阵描述的姿态来说，无法通过矩阵相减得到姿态误差。
通常，假设我们有
R
1
2
R{^2_1}
R12描述从坐标系1到2的旋转，而
R
2
3
R{^3_2}
R23描述从坐标系2到3的旋转，则有如下性质
R
1
3
=
R
2
3
∗
R
1
2
R{^3_1} = R{^3_2}*R{^2_1}
R13=R23∗R12
即可见相乘的两个矩阵的上下标相互约去得到坐标系1到坐标系3的旋转矩阵。
又由于旋转矩阵为正交矩阵，因此有
(
R
2
3
)
−
1
∗
R
1
3
=
(
R
2
3
)
T
∗
R
1
3
=
R
3
2
∗
R
1
3
=
R
1
2
{(R{^3_2})}^{-1}*R{^3_1} = {(R{^3_2})}^{T}*R{^3_1} = R{^2_3}*R{^3_1} = R{^2_1}
(R23)−1∗R13=(R23)T∗R13=R32∗R13=R12
由此可见旋转矩阵中通过左乘一个旋转矩阵的逆表示姿态作差。
旋转矩阵通常是以R表示3×3矩阵，而变换矩阵则更多的是用T表示的在齐次坐标系下的4×4矩阵。
一些论文里面会以群的形式描述三维空间内的旋转矩阵和变换矩阵，通常前者以SO(3)表示，后者用SE(3)表示，有兴趣的同学可以自行翻阅相关群论，此处知道如上表示即可。
参考资料：
三维变换中，旋转矩阵左乘与右乘有什么区别？
做控制要知道的刚体旋转知识（四）旋转矩阵/方向余弦矩阵
[飞控]姿态误差(二)-旋转矩阵做差
《多旋翼飞行器设计与控制》P91-95
上面的旋转矩阵是从欧拉角进行推导得出的，除此之外，我们还可以直接利用坐标系之间的旋转关系进行推导，此时获得的矩阵成为方向余弦矩阵DCM，实际上从某种意义上来说两者是等价的，因为最后获得的姿态是一样的。
推荐阅读：DCM Tutorial – An Introduction to Orientation Kinematics
中文翻译：方向余弦矩阵(DCM)简介
以下内容来自上文，简单总结一下：
定义全局坐标系为OXYZ，本体坐标系为Oxyz，两者原点相同。全局坐标系中定义各轴（X、Y、Z）的单位向量分别为 I 、 J 、 K I、J、K I、J、K，同理本体坐标系中各轴对应的单位向量为 i 、 j 、 k i、j、k i、j、k。
全局坐标系下的单位向量
I
、
J
、
K
I、J、K
I、J、K表示为
本体坐标系下的单位向量
i
、
j
、
k
i、j、k
i、j、k表示为
其中G表示全局坐标系，B表示本体坐标系。具体的推导过程省略，这边可以简单表示为
i
x
G
i{_x^G}
ixG 表示的是i向量在全局坐标系中X轴上的投影，整个过程用点乘实现计算，注意仔细理解上式，我们以后会以
c
o
s
(
I
,
i
)
cos(I, i)
cos(I,i) 或者
I
.
i
I.i
I.i 的形式表示点乘。那么
i
i
i 向量在全局坐标系中的投影为
由此我们可以获得向量
i
、
j
、
k
i、j、k
i、j、k在全局坐标系G中的投影坐标，表示为方向余弦矩阵为
而同样的，在本体坐标系中表示全局坐标系的单位向量
I
、
J
、
K
I、J、K
I、J、K在本质上其实是对称的。举例来说
I
B
I^B
IB表示的就是
I
I
I向量在本体坐标系的投影
由此获得向量
I
、
J
、
K
I、J、K
I、J、K在本体坐标系中的投影（注意
I
.
i
I.i
I.i和
i
.
I
i.I
i.I等价）
可以发现 D C M G DCM^G DCMG和 D C M B DCM^B DCMB是各为彼此的转置，并且DCM本身为一个正交矩阵。
由于APM中主要采用的就是轴角和四元数来计算姿态误差
先来看看什么是旋转向量，旋转向量定义为：任意旋转均可用一个旋转轴和一个旋转角来表示，由此使用一个向量，其方向与旋转轴保持一致，向量长度等于旋转角（摘自《视觉SLAM十四讲》）。
而轴角法（Axis-Angle）实际上就是旋转向量，它使用一个转轴（单位向量）和一个旋转角来描述旋转过程。
如下图所示，以z为转轴，α为转角构建轴角，将坐标系xyz旋转到X’Y’Z’。
只给出结论。
从轴角转换到旋转矩阵，根据罗德里格斯公式有：
符号^表示将向量转换为反对称矩阵。
可以倒推获得旋转矩阵向轴角的转换：
t
r
(
R
)
tr(R)
tr(R)表示矩阵R的迹
转轴n，在旋转轴上的向量旋转前后不发生变化
R
n
=
n
Rn=n
Rn=n
参考资料：
做控制要知道的刚体旋转知识（一）轴角法
[飞控]姿态误差(三)-四元数和轴角求误差
首先明确四元数描述的是三维空间的旋转过程，而不是一个点。
基础理论和数学计算方式这边将不再介绍，后面均表示为国内统一标准。
下图来自《多旋翼飞行器设计与控制》
即可表示为如下形式，其中
q
0
q_0
q0为实数，
q
1
，
q
2
，
q
3
q_1，q_2，q_3
q1，q2，q3为虚数。
q ⃗ = q 0 + q 1 i ⃗ + q 2 j ⃗ + q 3 k ⃗ \vec{q} = q_0+q_1\vec{i}+q_2\vec{j}+q_3\vec{k} q =q0+q1i +q2j +q3k
在APM中则是以 q 1 ， q 2 ， q 3 ， q 4 q_1，q_2，q_3，q_4 q1，q2，q3，q4进行表示。
一些基本运算可以看这篇博文：旋转表达之四元数
注意：单位四元数的逆等于它的共轭
在统一使用国内标准描述四元数时，四元数与旋转矩阵也可以像旋转矩阵一样上下标约去
前提：轴角已知
四元数本身也是存储了一个旋转轴和一个旋转角度。如果已知一个由轴角n和θ指定的旋转。其中
n ⃗ = x i ⃗ + y j ⃗ + z k ⃗ \vec{n}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k} n =xi +yj +zk
并且向量n为单位向量
∣ ∣ n ⃗ ∣ ∣ = 1 ||\vec{n}||=1 ∣∣n ∣∣=1
则用四元数描述这个旋转过程为
q = c o s θ 2 + ( x + y + z ) s i n θ 2 q=cos\frac{θ}{2}+(x+y+z)sin\frac{θ}{2} q=cos2θ+(x+y+z)sin2θ
表示为
q = [ q 0 , q 1 , q 2 , q 3 ] = [ c o s θ 2 , x s i n θ 2 , y s i n θ 2 , z s i n θ 2 ] = [ c o s θ 2 , n s i n θ 2 ] q=[q_0 ,q_1,q_2,q_3]=[cos\frac{θ}{2},xsin\frac{θ}{2},ysin\frac{θ}{2},zsin\frac{θ}{2}]=[cos\frac{θ}{2},nsin\frac{θ}{2}] q=[q0,q1,q2,q3]=[cos2θ,xsin2θ,ysin2θ,zsin2θ]=[cos2θ,nsin2θ]
那么反过来也可以求得轴角
θ
=
2
∗
a
r
c
c
o
s
(
q
0
)
θ=2*arccos(q_0)
θ=2∗arccos(q0)
[
x
,
y
,
z
]
T
=
[
q
1
,
q
2
,
q
3
]
T
s
i
n
θ
2
[x,y,z]^T=\frac{[q_1,q_2,q_3]^T}{sin\frac{θ}{2}}
[x,y,z]T=sin2θ[q1,q2,q3]T
四元数恢复轴角形式
虽然上面给出了公式，然而一种更直观的计算方法如下，前提是已知四元数表达
下图来自旋转表达之四元数
向量旋转
假设
q
q
q是一个用四元数表示的旋转过程，
v
1
∈
R
3
v_1\in R^3
v1∈R3表示一个向量，那么在
q
q
q的作用下，向量
v
1
v_1
v1旋转为向量
v
1
′
v_1'
v1′可表示为
(
0
v
1
′
)
=
q
×
(
0
v
1
)
×
q
−
1
\begin{pmatrix} 0 \\ v_1' \\ \end{pmatrix}=q×\begin{pmatrix} 0 \\ v_1 \\ \end{pmatrix}×q^{-1}
(0v1′)=q×(0v1)×q−1
注意以上过程为0标量运算，具体的运算过程以及非0标量四元数运算详见下面这篇博客（内容会在APM姿态误差计算中用到）
[飞控]姿态误差(三)-四元数和轴角求误差
坐标系旋转
坐标系旋转则刚好相反，想象在一个坐标系下将向量逆时针旋转45°，这个过程是不是等价于将坐标系顺时针旋转45°呢？
因此公式表示为：
(
0
v
1
′
)
=
q
−
1
×
(
0
v
1
)
×
q
\begin{pmatrix} 0 \\ v_1' \\ \end{pmatrix}=q^{-1}×\begin{pmatrix} 0 \\ v_1 \\ \end{pmatrix}×q
(0v1′)=q−1×(0v1)×q
旋转矩阵 R b e R^e_b Rbe是从机体坐标系b到地球固连坐标系e的转换
摘自《多旋翼飞行器设计与控制》
摘自《视觉SLAM十四讲》
其中
t
r
(
R
)
tr(R)
tr(R)表示矩阵的迹，
t
r
(
R
)
=
m
11
+
m
22
+
m
33
tr(R) = m_{11}+m_{22}+m_{33}
tr(R)=m11+m22+m33
欧拉角转换为四元数。
回忆一下我们通常用φ，θ，ψ表示绕X、Y、Z轴的旋转角度
四元数反推欧拉角
参考资料：
如何形象地理解四元数？
旋转表达之四元数
[飞控]姿态误差(三)-四元数和轴角求误差
[飞控]倾转分离(补充)-等效旋转矢量(轴角)与旋转矩阵
摘自：https://blog.csdn.net/YuYunTan/article/details/83828258
- 旋转矩阵用9个元素表示3自由度旋转，表达具有冗余性。而欧拉角和旋转向量是紧凑的，但具有奇异性。
- 旋转向量用一个旋转轴ω \omegaω和旋转角t tt来描述一个旋转，所以也称轴角(Axis-Angle)。不过很明显，因为旋转角度有一定的周期性（2 π 2\pi2π一圈），所以这种表达方式具有奇异性。
- 欧拉角有一个致命缺点：万向锁。也就是在俯仰角为±90°时，第一次和第三次旋转使用的是同一个坐标轴，会丢失一个自由度，引起奇异性。
- 表达三维旋转的不带奇异性的三维向量描述方式是不存在的，它是一个三维流型，想要无奇异性的表示，仅用3个量是不够的，所以引出了四元数。
- 四元数是Hamilton找到的对于复数的扩展，它由一个实部和三个虚部组成，是一种非常紧凑、没有奇异的表达方式。然而四元数不够直观，且运算较为复杂。
