四元数的表示可以写为
q
⃗
=
ω
+
x
i
+
y
j
+
z
k
=
(
ω
,
x
,
y
,
z
)
=
(
ω
,
v
)
,
其
中
v
⃗
=
(
x
,
y
,
z
)
\vec{q} = ω+xi+yj+zk=(ω,x,y,z)=(ω,v) ,其中\vec{v}=(x,y,z)
q=ω+xi+yj+zk=(ω,x,y,z)=(ω,v),其中v=(x,y,z) 简单地说就是一个实数和三个虚数的表示方法,先这样记住吧。
好了,可以看视频了,看完视频再看下面的说明。 视频传送门
描述旋转
先简单来一个复数描述旋转的引子。
复数描述旋转
复数的表示如下
z
=
a
+
b
i
z=a+bi
z=a+bi
当我们使用
i
i
i去乘以一个复数时,当我们把得到的结果绘制在复平面上时,发现得到的位置正好是绕原点旋转90度的效果。
于是可以猜测,复数的乘法和旋转之间应该有某些关系。 我们可以通过定义一个复数
q
=
c
o
s
θ
+
i
s
i
n
θ
q=cos\theta+isin\theta
q=cosθ+isinθ 使用它作为一个旋转的因子,当与复数相乘时,得到:
p
=
a
+
b
i
q
=
c
o
s
θ
+
i
s
i
n
θ
p
q
=
(
a
+
b
i
)
(
c
o
s
θ
+
i
s
i
n
θ
)
a
′
+
b
′
i
=
a
c
o
s
θ
−
b
s
i
n
θ
+
(
a
s
i
n
θ
+
b
c
o
s
θ
)
i
p=a+bi \\ q=cos\theta+isin\theta \\ pq=(a+bi)(cos\theta+isin\theta)\\ a'+b'i=acos\theta-bsin\theta+(asin\theta+bcos\theta)i
p=a+biq=cosθ+isinθpq=(a+bi)(cosθ+isinθ)a′+b′i=acosθ−bsinθ+(asinθ+bcosθ)i 这个公式正好是二维的旋转公式,当把新的到的
(
a
′
+
b
′
i
)
(a'+b'i)
(a′+b′i)绘制在复平面上时,得到的正好是原来的点
(
a
+
b
i
)
(a+bi)
(a+bi)旋转
θ
\theta
θ角之后的位置。