我正在尝试使用复数到复数 IDFT 求解一维热方程。问题在于单个时间步后的输出似乎不正确。我在下面提供了一个简单的示例来说明该问题。
I initialize the temperature state as follows:
频域中的初始模式为：
k[ 0] = 12.5 + 0i
k[ 1] = 12.5 + 0i
k[ 2] = 12.5 + 0i
k[ 3] = 12.5 + 0i
k[ 4] = 12.5 + 0i
k[-3] = 12.5 + 0i
k[-2] = 12.5 + 0i
k[-1] = 12.5 + 0i
然后我将频域的状态推进到t=0.02使用标准一维热方程：
double alpha = 0.2; // Thermal conductivity constant
double timestep = 0.02;
for (int i = 0; i < N; i++) {
int k = (i <= N / 2) ? i : i - N;
F[i][REAL] *= exp(-alpha * k * k * timestep); // Decay the real part
F[i][IMAG] *= exp(-alpha * k * k * timestep); // Decay the imaginary part
}
频率模式为t=0.02 become:
k[ 0] = 12.5 + 0i
k[ 1] = 12.45 + 0i
k[ 2] = 12.3 + 0i
k[ 3] = 12.06 + 0i
k[ 4] = 11.73 + 0i
k[-3] = 12.06 + 0i
k[-2] = 12.3 + 0i
k[-1] = 12.45 + 0i
After performing the IDFT to obtain the temperature domain state at t=0.02 I get:
空间域和频域似乎都是正确的周期性的。然而，热量（空间域中的值）似乎并未按照高斯曲线消散。更令人惊讶的是，一些温度低于其初始值（它们变为负值！）。
能量守恒似乎确实成立：将所有温度加在一起仍然是 100。
这是我的完整热方程代码：
double alpha = 0.2; // Thermal conductivity constant
double timestep = 0.02; // Physical heat equation timestep
int N = 8; // Number of data points
fftw_complex* T = (fftw_complex*)fftw_alloc_complex(N); // Temperature domain
fftw_complex* F = (fftw_complex*)fftw_alloc_complex(N); // Frequency domain
fftw_plan plan = fftw_plan_dft_1d(N, F, T, FFTW_BACKWARD, FFTW_MEASURE); // IDFT from frequency to temperature domain
// Initialize all frequency modes such that there is a peak of 100 at x=0 in the temperature domain
// All other other points in the temperature domain are 0
for (int i = 0; i < N; i++) {
F[i][REAL] = 100.0 / N;
F[i][IMAG] = 0.0;
}
// Perform the IDFT to obtain the initial state in the temperature domain
fftw_execute(plan);
printTime1d(T, N);
printFrequencies1d(F, N);
// Perform a single timestep of the heat equation to obtain the frequency domain state at t=0.02
for (int i = 0; i < N; i++) {
int k = (i <= N / 2) ? i : i - N;
F[i][REAL] *= exp(-alpha * k * k * timestep); // Decay the real part
F[i][IMAG] *= exp(-alpha * k * k * timestep); // Decay the imaginary part
}
// Perform the IDFT to obtain the temperature domain state at t=0.02
fftw_execute(plan);
printTime1d(T, N);
printFrequencies1d(F, N);
的定义printTime(...) and printFrequencies(...) is:
void printTime1d(fftw_complex* data, int N) {
int rounding_factor = pow(10, 2);
for (int i = 0; i < N; i++) {
std::cout << std::setw(8) << round(data[i][REAL] * rounding_factor) / rounding_factor;
}
std::cout << std::endl;
}
void printFrequencies1d(fftw_complex* data, int N) {
int rounding_factor = pow(10, 2);
for (int i = 0; i < N; i++) {
int k = (i <= N / 2) ? i : i - N;
double R = round(data[i][REAL] * rounding_factor) / rounding_factor;
double I = round(data[i][IMAG] * rounding_factor) / rounding_factor;
std::cout << "k[" << std::setw(2) << k << "]: " << std::setw(2) << R << ((I < 0) ? " - " : " + ") << std::setw(1) << abs(I) << "i" << std::endl;
}
std::cout << std::endl;
}
也许值得注意的是，我还使用复杂到真实的 IDFT 进行了这个实验（使用 fftw 的fftw_plan_dft_c2r_1d()）并且给出了完全相同的结果。
您的问题是您没有解析所需的频率，而是在乘以衰减系数后得到以下函数的傅里叶图像：
上面的结果与您应该得到的结果（高斯分布）相差太远，至少是这样的（使用 80 点而不是 8）：
请注意上面第一个图表中的幅度甚至没有机会接近零，而是撞到了奈奎斯特频率。很明显，您会得到类似于吉布斯现象的伪像：这是傅里叶部分和的常见行为。
80点数据版本的傅里叶逆变换如下：
这个结果仍然有负分量（因为我们使用有限数量的谐波），但这些是much振幅比只有 8 个谐波时得到的振幅小。
请注意，这确实意味着，如果您增加感兴趣的时间值，则可以减少考虑的谐波数量。一开始这可能是出乎意料的，但这只是因为高次谐波比低次谐波衰减得快得多，而且它们永远不会增加回来。