相机标定 - (02) - 相机标定步骤与原理

2023-05-16

2 相机标定步骤

2.1 张正有标定操作步骤

2.2 张正有标定原理

2 相机标定步骤与原理

参考文章：三步骤详解张正友标定法_谜之_摄影爱好者的博客-CSDN博客

1998年，张正友提出了基于二维平面靶标的标定方法，使用相机在不同角度下拍摄多幅平面靶标的图像，比如棋盘格的图像，然后通过对棋盘格的角点进行计算分析来进行相机标定（求解相机的内外参数）。

2.1 张正有标定操作步骤

（1）张正友标定方案使用平面标志物，通常是规整的棋盘格或者点阵图，通常情况下为了方便区分图片中棋盘格朝向，我们一般使用宽高不同的棋盘格。

不同标定板的优缺点：

棋盘格本身存在角点检测不精确的问题。
圆点检测更精确，但是会存在偏心误差

会存在偏心误差

（2）准备好棋盘格后，使用待标定相机拍摄不同角度多组标定图案

拍摄15~20张不同角度照片（按照标定的理论三张图片就可以完成标定，但是为了减小标定误差，拍摄图片会稍微多一些）
标定图案需要保证平整
每张图片中标志物尽量占据画面1/4以上，
拍摄时应尽量保证相机参数不变（拍摄过程不要采用自定对焦方式，也不要改变焦距）
保证拍摄图案清晰，无明显模糊（由于圆点在模糊情况不会改变其中心点位置，精度理论上会更好一些）
拍摄图案的总和需要覆盖整个画面

（3）使用标定工具进行标定计算

2.2 张正有标定原理

第一步：对每一幅图像得到一个映射矩阵（单应矩阵）H

一个二维点用 $m=(u,v)^{T}$ 表示，一个三维点可以用 $M=(X,Y,Z)^{T}$ 表示，其增广矩阵（齐次坐标表示）为 $\widetilde{m}=(u,v,1)^{T}$ 以及 $\widetilde{M}=(X,Y,Z)^{T}$ 。三维点与其投影图像点之间的关系为：

$s\widetilde{m}=A(R,t)\widetilde{M}$

式中，s为任意标准矢量，A矩阵为相机内参；R（旋转矩阵），t（平移向量）为外参

$A = \begin{bmatrix} \alpha &\gamma &u_{0} \\ 0& \beta & v_{0}\\ 0& 0&1 \end{bmatrix}$

式中 $(u_{0},v_{0})$ 是相机在图像坐标系的主点， $\alpha$ 和 $\beta$ 是图像上 $u$ 和 $v$ 坐标轴的尺度因子， $\gamma$ 表示图像坐标轴的垂直度（取决于相机制造工艺，好的为0）。

假定模板平面在世界坐标系 $Z=0$ 的平面上，则有：

$s\begin{bmatrix} u\\ v\\ 1 \end{bmatrix}=A\bigl(\begin{smallmatrix} r_{1} & r_{2} & r_{3}&t\end{smallmatrix}\bigr)\begin{bmatrix} X\\ Y\\ Z\\ 1 \end{bmatrix}=A\bigl(\begin{smallmatrix} r_{1} &r_{2} & t \end{smallmatrix}\bigr)\begin{bmatrix} X\\ Y\\ 1 \end{bmatrix}$

在标定模板（棋盘格）平面上的齐次坐标 $\widetilde{M}=(X,Y,1)$ ，而 $\widetilde{m}=(u,v,1)$ 是棋盘格平面上的点投影到摄像机的成像（图像平面）对应点的齐次坐标。

此时，可以得到一个3*3的矩阵： $H=\bigl(\begin{smallmatrix} h_{1} &h_{2} & h_{3} \end{smallmatrix}\bigr)=\lambda A\bigl(\begin{smallmatrix} r_{1} & r_{2} & t \end{smallmatrix}\bigr)$

利用单应矩阵可得内参矩阵A的约束条件为 $h_{1}^{T}A^{-T}A^{-1}h_{2}=0$

第二步：利用约束条件线性求解内参矩阵A

假设存在：

$B=A^{-T}A^{-1}=\begin{bmatrix} B_{11} &B_{12} & B_{13}\\ B_{21}&_{22} &B_{23} \\ B_{31}&B_{32} & B_{33} \end{bmatrix}$

式中，B为对称矩阵，基于绝对二次曲面原理求出B以后，再对B矩阵求逆，并从中导出内参矩阵A，再由A和单应矩阵H计算外参R和t，公式如下：

$\left\{\begin{matrix} r_{1}=\lambda A^{-1}h_{1}\\ r_{2}=\lambda A^{-1}h_{2} \\ r_{3}=r_{1}\cdot r_{2}\\ t=\lambda A^{-1}h_{3} \end{matrix}\right.$

第三步：最大似然估计

采用最大似然准则优化上述参数。假设图像有n幅，模板平面标定点有m个，则最大似然估计值就可以通过最小化以下公式得到：

$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\left \| m_{ij}-m(A,k_{1},k_{2},R_{i},t_{i},M_{j}) \right \|^{2}$

式中， $m_{ij}$ 为第 j 个点在第 i 幅图像中的像点； $R_{i}$ 为第 i 幅图像的旋转矩阵； $t_{i}$ 为第 i 幅图像的平移向量； $M_{j}$ 为第 j 个点的空间坐标；初始估计值利用上面线性求解的结果，径向畸变系数 $k_{1}$ 、 $k_{2}$ 初始值为0。

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