通过浮点计算将浮点转换为十进制

我正在尝试转换浮点双精度值x精确到 12 位（正确舍入）有效数字的十进制。我假设x介于 10^110 和 10^111 之间，其十进制表示形式为x.xxxxxxxxxxxE110。而且，只是为了好玩，我尝试仅使用浮点运算。

我得到了下面的伪代码，其中所有操作都是双精度操作，符号1e98是最接近数学 10^98 的双精度数，并且1e98_2是最接近数学减法 10^98- 的结果的双精度数1e98。符号fmadd(X * Y + Z)用于与操作数进行融合乘加运算X,Y, Z.

  y = x * 2^-1074;    // exact
  q = y / 1e98;       // q is denormal and the significand of q interpreted
                      // as an integer is our candidate for the 12 decimal
                      // digits of x

  r = fmadd(q * 1e98 - y);  // close to 1e98 * (error made during the division)

  // If 1e98_2 >= 0, we divided by a number that was smaller than we wished
  // The correct answer may be q or q+1.

  if (r and 1e98_2 have opposite signs)
  {
    return the significand of q;
  }

  s = copysign(2^-1074, r);
  r1 = abs(r);
  r2 = abs(1e98_2);

  h = 1e98 * 0.5 * 2^-1074;

  Set rounding mode to downwards

  r3 = fmadd(r2 * q + r1);

  if (r3 < h)
  {
    return the significand of q;
  }
  else
  {
    return significand of (q + s)
  }

对于上述伪代码中的混乱，我深表歉意，但对我来说还不是很清楚，因此有以下问题：

1. 第一个 fmadd 是否按预期工作（计算 1e98 *（除法期间发生的错误））？

2. 标志。我无法说服自己他们是对的。但我也无法说服自己他们是错的。

3. 关于该算法可能产生错误结果的频率有什么想法（也许是争论）吗？

4. 如果它确实有效，那么如果将“q = y / 1e98”更改为“q = y * 1e-98”（保持所有其他指令相同），该算法是否有可能继续工作？

我没有测试过这个算法。我没有任何带有 fmadd 指令的计算机，尽管我希望找到一台计算机以便我可以执行上述命令。

Let y/d是精确的操作，并且q=rnd(y/d)将结果四舍五入到最接近的浮点数。
那么真实误差乘以 d 就是rt=(rnd(y/d)-y/d)*d=q*d-y我们用 fmadd 执行的操作是r=rnd(q*d-y)
Why q*d-y是精确的（fmadd 没有最终舍入）解释起来不太清楚，但可以这么说q*d位数有限（<nbits(q)+nbits(d)), 的指数y是那个q*d(+/- 1) 并且由于错误是|rt|<0.5*ulp(q)*d，这意味着首先nbits(q)正在消失……这回答了问题 1。

So q*1e98 - y = r， 在哪里|r|*2^1074 <= 0.5e98 < 5*10^98（第二个不等式是幸运的）

q*(10^98) - y = r + (10^98-1e98)*q where |10^98-1e98|*q*2^1074 <= 0.5e95（假设至少 15 位精度，log(2^53)/log(10) > 15)

所以你问是否|q*(10^98)-y|*2^1074>5*10^97

你有一个近似值|q*(10^98)-y|这是r+1e98_2*q

Since |r| < 5*10^98, and |r+(10^98-1e98)*q|<|r|如果符号相反，我认为问题 2 的答案是肯定的。但我不太确定 1e98_2 是否

If r and 1e98_2有相同的符号，它可能会超过5*10^97，因此您进一步处理讨论r3 = 1e98_2*q + r versus h=0.5e98*2^-1074

对于问题 3，乍一看，我认为有两件事可能导致算法失败：

• 1e98_2不准确（10^98-1e98-1e98_2 = -3.6e63大约）

• and h is not ht=0.5*10^98*2^-1074但正如我们上面看到的，要小一些。

真正的错误r3t大约是(1e98_2-3e63)*q + r < r3（只有 >0 时的情况才让我们感兴趣，因为 1e98_2>0）。

因此，当真实误差 r3t 低于真实 tie ht 时，误差 r3 的近似值落在近似 tie h 之上可能会导致不正确的舍入。是否可能？如果可以，您的问题 3 出现的频率是多少？

为了减轻上述不平等风险，您尝试截断 r3 的大小，因此r3 <= 1e98_2*q + r。我对错误界限进行真正的分析感到有点累......

所以我扫描了一个错误，我发现的第一个失败示例是 1.0000000001835e110 （我假设正确舍入到最接近的双精度，但实际上是 1000000000183.499999841537998211209154249426305282256955264919632918469 57919215885146546696544423465444842668032e98）。

在这种情况下，r and 1e98_2具有相同的符号，并且

• (x/1e98) > 1000000000183.50000215

• q因此有效数字被四舍五入为1000000000184

• r3>h (r3*2^1074大约是。 5.000001584620017e97) 并且我们错误地增加了q+s，当它应该是q-s, 绝对是一个错误.

我的答案是：

1. yes, r=fmadd(q * 1e98 - y)正好是 1e98*（除法时出错），但我们不关心除法，它只是提供一个猜测，重要的是减法是否准确。

2. 是的，该符号是正确的，因为|r| < 5*10^98, and |r+(10^98-1e98)*q|<|r|如果符号相反。但我不太确定 1e98_2 是否

3. 举第一个失败的例子(1.0000000001835e110 - 1.0e110)/1.0e110 ulp -> 1.099632e6，一个非常非常天真的猜想是说，一百万分之一的情况下，r3 会超过 h...所以一旦 q+s 纠正为 q-s，就会发生r3>h while r3t<ht无论如何，都比 1/1,000,000 小得多...感兴趣的范围内有超过 10^15 个双精度数，所以考虑这不是一个严肃的答案...

4. 是的，上面的讨论只是关于猜测 q，与它的产生方式无关，并且 1. 中的减法仍然是准确的......