滑模控制
举例说明滑模控制
对于一个典型的二阶系统
x
˙
1
=
x
2
{{\dot x}_1} = {x_2}
x˙1=x2
x
˙
2
=
h
(
x
)
+
g
(
x
)
u
{{\dot x}_2} = h\left( x \right) + g\left( x \right)u
x˙2=h(x)+g(x)u
其中
g
(
x
)
>
g
0
>
0
g\left( x \right) > g_0>0
g(x)>g0>0
设计一个滑模面
s
=
a
1
x
1
+
x
2
s = {a_1}{x_1} + {x_2}
s=a1x1+x2，对
s
s
s微分，则
s
˙
=
a
1
x
2
+
h
(
x
)
+
g
(
x
)
u
.
假
设
\dot s = {a_1}{x_2} + h\left( x \right) + g\left( x \right)u.假设
s˙=a1x2+h(x)+g(x)u.假设
∣
a
1
x
2
+
h
(
x
)
g
(
x
)
∣
<
ρ
(
x
)
\left| {\frac{{{a_1}{x_2} + h\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}} \right| < \rho \left( x \right)
∣∣∣∣g(x)a1x2+h(x)∣∣∣∣<ρ(x)
β
(
x
)
≥
ρ
(
x
)
+
β
0
\beta \left( x \right) \ge \rho \left( x \right) + {\beta _0}
β(x)≥ρ(x)+β0
u
=
−
β
(
x
)
s
i
g
n
(
s
)
u = - \beta \left( x \right)sign\left( s \right)
u=−β(x)sign(s)选取李雅普诺夫函数
V
V
V
V
=
1
2
s
2
≥
0
V = \frac{1}{2}{s^2} \ge 0
V=21s2≥0
V
˙
=
s
s
˙
=
s
(
a
1
x
2
+
h
(
x
)
+
g
(
x
)
u
)
≤
∣
s
∣
∣
a
1
x
2
+
h
(
x
)
∣
−
β
(
x
)
∣
s
∣
g
(
x
)
=
∣
s
∣
g
(
x
)
(
∣
a
1
x
2
+
h
(
x
)
g
(
x
)
∣
−
β
(
x
)
)
≤
−
g
0
β
0
∣
s
∣
=
−
1
2
g
0
β
0
V
1
2
≤
0
\dot V = s\dot s = s\left( {{a_1}{x_2} + h\left( x \right) + g\left( x \right)u} \right)\\ \le \left| s \right|\left| {{a_1}{x_2} + h\left( x \right)} \right| - \beta \left( x \right)\left| s \right|g\left( x \right)\\ = \left| s \right|g\left( x \right)\left( {\left| {\frac{{{a_1}{x_2} + h\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}} \right| - \beta \left( x \right)} \right) \\ \le - {g_0}{\beta _0}\left| s \right|= - \frac{1}{2}{g_0}{\beta _0}{V^{\frac{1}{2}}}\le 0
V˙=ss˙=s(a1x2+h(x)+g(x)u)≤∣s∣∣a1x2+h(x)∣−β(x)∣s∣g(x)=∣s∣g(x)(∣∣∣∣g(x)a1x2+h(x)∣∣∣∣−β(x))≤−g0β0∣s∣=−21g0β0V21≤0根据李雅普诺夫稳定性原理，因为
V
≥
0
V\ge 0
V≥0，
V
˙
≤
0
\dot V\le 0
V˙≤0，所以系统是稳定的。对这个微分不等式两边对时间求积分，得
V
V
V收敛于0的时间
Δ
t
≤
2
V
0
1
2
g
0
β
0
，
V
0
\Delta t \le \frac{{2V_0^{\frac{1}{2}}}}{{{g_0}{\beta _0}}}，V_0
Δt≤g0β02V021，V0是初始值。
从上面的例子可以看出滑模控制本质上是一类特殊的非线性控制，其非线性表现为控制的不连续性(引入了符号函数sign(x))，这种控制策略与其它控制的不同之处在于系统的“结构”并不固定，而是可以在动态过程中根据系统当前的状态(如偏差及其各阶导数等)有目的地不断变化，迫使系统按照预定“滑动模态”的状态轨迹运动。由于滑动模态可以进行设计且与对象参数及扰动无关，这就使得变结构控制具有快速响应、对参数变化及扰动不灵敏、无需系统在线辩识， 物理实现简单等优点。该方法的缺点在于，由于实际系统中开关器件的非理想性，使得控制切换出现延迟，使当状态轨迹到达滑模面后，难于严格地沿着滑模面向着平衡点滑动，而是在滑模面两侧来回穿越，从而产生颤动，即抖振问题。
抖振的处理方法
- 滤波方法。通过采用滤波器，对控制信号进行平滑滤波，是削减抖振的有效方法。
- 消除干扰和不确定性的方法。在常规滑模控制中，往往需要很大的切换增益来消除外加干扰及不确定项，因此，外界干扰及不确定项是滑模控制中抖振的主要来源。利用观测器来消除外界干扰及不确定性成为解决抖振问题研究的重点。
- 遗传算法优化方法。遗传算法是建立在自然选择和自然遗传学机理基础上的迭代自适应概率性搜索算法，在解决非线性问题时表现出很好的鲁棒性、全局最优性、可并行性和高效率，具有很高的优化性能。
- 降低切换增益方法。控制量由连续控制和切换控制两部分组成，由于抖振主要是由于控制器的不连续切换项造成，因此，把能连续的放在连续控制部分，这样就可减小切换项的增益，便可有效地抑制抖振。
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