状态观测器是根据系统的输入输出来确定系统内部状态变量的装置，它的示意图如下：
在自抗扰控制器的设计过程中，我们通常把未知的干扰都用
f
f
f来表示，如果利用状态观测器可以将未知的干扰观测出来，就可以提前在控制器中采取补偿措施，使得控制器的设计更加简单，这也是自抗扰控制器的核心思想。
对一个线性控制系统
{
X
˙
=
A
X
+
B
U
Y
=
C
X
\left\{ \begin{array}{lr} \dot{X} = AX+BU & \\ Y = CX \end{array} \right.
{X˙=AX+BUY=CX
来说，以对象的输出量
Y
Y
Y和输入量
U
U
U作为其输入，可以构造出如下的新系统
Z
˙
=
A
Z
−
L
(
C
Z
−
Y
)
+
B
U
=
(
A
−
L
C
)
Z
+
L
Y
+
B
U
\dot{Z} = AZ-L(CZ-Y)+BU = (A-LC)Z+LY+BU
Z˙=AZ−L(CZ−Y)+BU=(A−LC)Z+LY+BU ，
L
L
L为要适当选取的矩阵，这是用对象的输出量
Y
Y
Y和输入量
U
U
U来设计出的新系统，令这两个系统状态变量的误差记为
e
=
Z
−
X
e= Z-X
e=Z−X，则上面两个方程组相减，得误差变量
e
e
e所满足的方程组为
e
˙
=
(
A
−
L
C
)
e
\dot{e} = (A-LC)e
e˙=(A−LC)e，这里只要取矩阵
L
L
L使得
A
−
L
C
A-LC
A−LC稳定，就会有
e
⇒
0
e\Rightarrow0
e⇒0，从而
Z
⇒
X
Z \Rightarrow X
Z⇒X。新设计的系统的状态
Z
Z
Z就能近似的估计出原系统的所有状态变量
X
X
X，这个状态观测器也可以写成
{
e
=
C
Z
−
Y
Z
˙
=
A
Z
−
L
e
+
B
U
\left\{ \begin{array}{lr} e=CZ-Y & \\ \dot{Z} = AZ-Le+BU \end{array} \right.
{e=CZ−YZ˙=AZ−Le+BU
下面来看一个具体的例子
设对象为如下有扰动作用的非定常系统
{
x
1
˙
=
x
2
,
x
1
(
0
)
=
0
x
2
˙
=
f
(
x
1
,
x
2
,
t
)
+
w
(
t
)
,
x
2
(
0
)
=
0
y
=
x
1
\left\{ \begin{array}{lr} \dot{x_1} = x_2, x_1(0) = 0& \\ \dot{x_2} = f(x_1,x_2,t) +w(t), x_2(0) = 0 & \\ y = x_1 \end{array} \right.
⎩⎨⎧x1˙=x2,x1(0)=0x2˙=f(x1,x2,t)+w(t),x2(0)=0y=x1
其中，
f
(
x
1
,
x
2
,
t
)
=
−
(
1
+
c
o
s
(
t
)
2
)
x
1
−
(
1
+
s
i
n
(
t
3
)
)
x
2
f(x_1,x_2,t) = -(1+\frac{cos(t)}{2})x_1-(1+sin(\frac{t}{3}))x_2
f(x1,x2,t)=−(1+2cos(t))x1−(1+sin(3t))x2，
w
(
t
)
=
s
i
g
n
(
s
i
n
(
3
t
2
)
)
w(t) = sign(sin(\frac{3t}{2}))
w(t)=sign(sin(23t))，
取状态观测器为
{
e
=
z
1
−
y
z
1
˙
=
z
2
−
100
e
z
2
˙
=
−
200
f
a
l
(
e
,
0.5
,
0.01
)
\left\{ \begin{array}{lr} e = z_1-y & \\ \dot{z_1} = z_2-100e & \\ \dot{z_2} = -200fal(e, 0.5, 0.01) \end{array} \right.
⎩⎨⎧e=z1−yz1˙=z2−100ez2˙=−200fal(e,0.5,0.01)
其中
f
a
l
(
e
,
0.5
,
0.01
)
=
{
∣
e
∣
0.5
s
i
g
n
(
e
)
,
∣
e
∣
>
0.01
e
0.0
1
0.5
,
∣
e
∣
≤
0.01
fal(e, 0.5, 0.01) = \left\{ \begin{array}{lr} |e|^{0.5}sign(e), |e|>0.01 & \\ \frac{e}{0.01^{0.5}}, |e| \leq 0.01 \end{array} \right.
fal(e,0.5,0.01)={∣e∣0.5sign(e),∣e∣>0.010.010.5e,∣e∣≤0.01
用这个观测器对对象进行状态估计时，可以用简单的欧拉积分法来计算，即令状态观测器的初始值为
z
1
(
0
)
=
0
z_1(0)=0
z1(0)=0，
z
2
(
0
)
=
0
z_2(0) = 0
z2(0)=0，然后把系统离散化成如下的递推公式来计算
{
e
=
z
1
−
y
,
f
e
=
f
a
l
(
e
,
0.5
,
0.01
)
z
1
=
z
1
+
h
(
z
2
−
100
e
)
z
2
=
z
2
−
h
200
f
e
\left\{ \begin{array}{lr} e = z_1-y, fe = fal(e, 0.5, 0.01) & \\ z_1= z_1+h(z_2-100e) & \\ z_2 = z_2 -h200fe \end{array} \right.
⎩⎨⎧e=z1−y,fe=fal(e,0.5,0.01)z1=z1+h(z2−100e)z2=z2−h200fe
用这个递推公式，取采样周期
h
=
0.01
h=0.01
h=0.01，来进行状态估计的结果如下图所示。
上面那张图实际上有两条曲线，是状态估计的比较好，所以两条曲线基本重合到一起了，下面有一张局部的细节图。
以下是实现的代码：
clear all;
h=0.01;
T=0.01;
time = 20;
N = time/T;
n=0:N-1;
% x = sin(n*T);
for k=1:1:N
%%% original state
x1(1) = 0;
x2(1) = 0;
x1(k+1) = x1(k) + h*x2(k);
x2(k+1) = x2(k) + h*(-(1+0.5*cos(k*T))*x1(k)-(1+sin(k*T/3))*x2(k)+sign(sin(1.5*k*T)));
y(k) = x1(k);
%%%% state observer
z1(1) = 0;
z2(1) = 0;
e(k) = z1(k) - y(k);
fe = fal(e(k), 0.5, 0.01);
z1(k+1) = z1(k) + h*(z2(k)-100*e(k));
z2(k+1) = z2(k) -h*200*fe;
end
plot(n*T,x1(1,1:2000),'b',n*T,z1(1,1:2000),'r');
fal函数如下：
function fe = fal(e,tau1,tau2)
%UNTITLED2 此处显示有关此函数的摘要
% 此处显示详细说明
if abs(e)>tau2
fe = power(abs(e),tau1)*sign(e);
else
fe = e/(power(tau2,tau1));
end
end
上面设计过程最关键的一步是状态观测器的设计，韩京清先生的设计过程考虑的参数比较多，这方面可以看一下高志强的线性ADRC的设计过程。