想要初步了解ADRC，可以从韩京清教授的一篇文献和一本书看起
1.文献： 从PID技术到“自抗扰控制”技术（《控制工程》，2002）
2.书： 自抗扰控制技术——估计补偿不确定因素的控制技术
不过文章里讲的不是很细，是把之前多篇文章内容综合到一起提出了ADRC整体的控制框架。想要更深入学习当然还是看书更好一些。
经典的PID控制直到如今都还是应用最广泛的控制算法，大部分的控制系统里用的都还是这个。它的好处主要在于，不需要被控对象的模型。
什么是被控对象的模型？
举个例子，假设我们以小车的速度 V V V为被控量，但是推动小车的力 F F F才是我们的控制量。
考虑阻力并假设阻力和速度成正比的话，根据牛顿第二定律我们可以得到小车的动力学方程 F − k V = m a F-kV=ma F−kV=ma，其中 k k k为阻力系数， m m m为小车质量。
根据质点运动学方程又有 V ˙ = a \dot{V}=a V˙=a，
这样就可以得到利用外力
F
F
F控制小车速度
V
V
V的模型
V
˙
=
−
k
m
V
+
1
m
F
\dot{V}=-\frac{k}{m}V+\frac{1}{m}F
V˙=−mkV+m1F
（也就是
x
˙
=
−
A
x
+
B
u
\dot{x}=-Ax+Bu
x˙=−Ax+Bu的线性模型的结构）
OK，这个方程通常就是我们需要的，如果要应用现代控制理论（比如最优控制）设计一个控制器，那么我们就需要知道这个模型的全部信息东西，在这里就是模型的结构以及阻力系数 k k k和小车质量 m m m。
获得这个模型存在两个问题：
由于模型难获得，而现代控制理论又大多基于模型设计，虽然能够满足各种各样的性能条件，但大都不够实用，这也就导致了PID一直称霸各个控制领域。因为PID是只利用误差 e e e 来计算控制量的，不需要模型知识，只需要调一调 K P , K I , K D K_P,K_I,K_D KP,KI,KD 三个参数就能得到可以接受的效果。
注意到前面说 PID 能得到可以接受的效果，我们当然希望PID能够得到更好的控制效果，那么PID还有哪些不足呢？
以下摘自前面说的韩京清的那篇文章
上一节写了PID的几个缺点，下面一条一条解释这些缺点的意思，并给出ADRC的解决方案：
直接根据给定指令计算误差可能会导致控制效果变差，比如有些指令里包含了我们不希望的高频信号，这类信号的例子有：阶跃指令，方波指令。
为了将高频信号解决掉，ADRC提出了安排“过渡过程”的方法，类似于把给定指令进行低通滤波，得到一个更容易实现的指令，从而在牺牲一点快速性的同时大大降低超调。
这里给个例子，考虑两个系统，一个带有指令滤波，一个不带：
当指令为单位阶跃指令，只用一个增益
K
=
2
K=2
K=2来控制二阶系统
1
s
2
+
s
\frac{1}{s^2+s}
s2+s1的时候，有无指令滤波器的效果如下：
不难看到，加了指令滤波器之后，虽然上升速度变慢了，但是超调更小了，调节时间基本没变，甚至还缩短了。
安排过渡过程也是类似这样的道理。因为像阶跃这样变化太快的突变信号，当控制器增益高的话就很容易引起超调，如果提前安排过渡过程，让指令信号慢一点变化，就能得到更好一点的控制效果。
经典的线性微分器，如
W
=
s
τ
s
+
1
W=\frac{s}{\tau{s}+1}
W=τs+1s以及
W
=
s
∗
ω
2
s
2
+
2
ω
s
+
ω
2
W=\frac{s*\omega^2}{{s}^2+2\omega{s}+\omega^2}
W=s2+2ωs+ω2s∗ω2都是在跟踪给定信号的同时输出微分量。
这部分在韩京清的那本书上也有介绍，但是用公式解释可能比较枯燥，在simulink上画图就比较直观：
对于一阶线性微分器：
W
=
s
τ
s
+
1
W=\frac{s}{\tau{s}+1}
W=τs+1s，其实可以看成是一个惯性环节的微分：
我们知道惯性环节 G = 1 τ s + 1 G=\frac{1}{\tau{s}+1} G=τs+11 是可以无超调的跟踪到给定阶跃信号的。当 G = 1 τ s + 1 G=\frac{1}{\tau{s}+1} G=τs+11 跟踪原信号的同时，积分器 1 s \frac{1}{s} s1 前面的量也就是 W = G ∗ s = s τ s + 1 W=G*s=\frac{s}{\tau{s}+1} W=G∗s=τs+1s 也在输出 G G G的微分量，那么我们就可以管这个叫做跟踪-微分器。它一边实现对原信号的跟踪，一边提供微分信号。
注意：当上图的Gain越大，也就是惯性环节的时间常数 τ \tau τ 越小的时候，惯性环节跟踪原信号就越快。对于输入信号为正弦波信号的情况就是相位滞后和幅值损失越小，这一点可以综合惯性环节的伯德图来思考。我们当然是希望相位滞后尽可能的小，但是 τ \tau τ 越大则 W = s τ s + 1 W=\frac{s}{\tau{s}+1} W=τs+1s 得到的微分信号对高频噪声的放大也越明显，这一点也可以综合微分环节 s s s 的伯德图来考虑。
类似的，二阶微分器 W = s ∗ ω 2 s 2 + 2 ω s + ω 2 W=\frac{s*\omega^2}{{s}^2+2\omega{s}+\omega^2} W=s2+2ωs+ω2s∗ω2 也可以看成一个阻尼比为1的震荡环节 G = ω 2 s 2 + 2 ω s + ω 2 G=\frac{\omega^2}{{s}^2+2\omega{s}+\omega^2} G=s2+2ωs+ω2ω2 的微分，即 W = G ∗ s W=G*s W=G∗s。
注意：这个二阶惯性环节，也可以看成一个闭环二阶系统跟踪指定的指令（这句话比较有意思）。公式如下：
{
x
˙
1
=
x
2
x
˙
2
=
u
=
−
ω
n
2
(
x
1
−
x
r
e
f
)
−
2
ω
n
x
2
\left\{ \begin{array}{rcl} \dot{x}_1 &=& x_2 \\ \dot{x}_2 &=& u =-\omega_n^2(x_1-x_{ref})-2\omega_nx_2\\ \end{array} \right.
{x˙1x˙2==x2u=−ωn2(x1−xref)−2ωnx2
其中 x r e f x_{ref} xref 为指定的指令。这个公式的形式和上面那个图虽然不是很像，但是实际上二者是等效的。
参考这个思想，可不可以用最速控制来实现这个二阶系统的指令跟踪，从而构造出一个新的跟踪-微分器？
ADRC的跟踪-微分器就是这么来的。
考虑一个二阶系统：
{
x
˙
1
=
x
2
x
˙
2
=
u
(
∣
u
∣
≤
r
)
\left\{ \begin{array}{rcl} \dot{x}_1 &=& x_2 \\ \dot{x}_2 &=& u &(|u|≤r)\\ \end{array} \right.
{x˙1x˙2==x2u(∣u∣≤r)
则以原点为收敛点的最速控制函数为：
u
=
−
r
s
i
g
n
(
x
1
+
x
1
∣
x
2
∣
2
r
)
u=-rsign(x_1+\frac{x_1|x_2|}{2r})
u=−rsign(x1+2rx1∣x2∣)
可以设计跟踪器为：
u
=
−
r
s
i
g
n
(
x
1
−
x
r
e
f
+
x
1
∣
x
2
∣
2
r
)
u=-rsign(x_1-x_{ref}+\frac{x_1|x_2|}{2r})
u=−rsign(x1−xref+2rx1∣x2∣)
这就是ADRC的跟踪-微分器的连续形式，但是这个东西在进入稳态后算出来的微分量会一直高频振荡。主要原因就是 u u u 中符号函数 s i g n ( x ) sign(x) sign(x)的存在，即使经过积分一次后得到的 x 2 x_2 x2 依然避免不了震荡。因为数值积分嘛，你懂的。
所以为了能够实现离散系统的最速控制，消除跟踪-微分器的稳态颤振，韩教授又搞了一个离散最速控制函数，这个比较复杂一点。这里我们只负责介绍跟踪-微分器的思想，关于离散最速控制函数放到下一部分（ADRC的公式以及参数整定）再讲。
总之，这里的跟踪-微分器是为了解决1、2两个问题：安排过渡过程以及提供微分信号。
注意：其实第二个问题在ADRC里被拆成两部分了，由误差提取误差微分包括了两部分：指令的微分和输出量的微分（因为误差等于指令减去输出量）。指令的微分是由跟踪-微分器搞定的，而输出量的微分是由后面的扩张状态观测器搞定的。
传统的线性反馈方式（就是误差直接乘上一个增益）在收敛速度以及抗扰动能力上存在不足。
ADRC的方案是 用非线性函数代替传统的增益（用非线性反馈代替线性反馈）。
这里也可以举个例子，比较两个系统，分别使用线性反馈和非线性反馈：(1)
x
˙
=
−
K
x
\dot{x}=-Kx
x˙=−Kx
以及 (2)
x
˙
=
−
K
∗
s
i
g
n
(
x
)
∗
∣
x
∣
α
(
α
<
1
)
\dot{x}=-K*sign(x)*|x|^\alpha(\alpha<1)
x˙=−K∗sign(x)∗∣x∣α(α<1)
假设
x
0
≠
0
x_0≠0
x0=0，则可以证明系统(2)能在有限时间内收敛到0，而系统(1)是指数收敛的，意思是永远收敛不到0。
这里也给一个仿真例子：
初始值为1时，仿真结果：
可以看到非线性反馈更快地收敛到0了，不过需要注意的是非线性反馈相对于线性反馈的快速性的优势只在 x < 1 x<1 x<1的时候才有，而且在靠近 x = 0 x=0 x=0的附近容易引起颤振。
积分的主要作用之一就是消除扰动（可以认为它是简单的扰动观测器），但是积分起作用比较慢，而且还会引起超调。
所以ADRC直接把积分舍弃了，使用扩张状态观测器来观测总扰动，将系统补偿成纯积分链（不知道这个学名是啥）的形式。这样控起来就容易多了，可以说，扩张状态观测器是ADRC的灵魂和精髓所在，在它面前，前面几个都是次要的。
用一个例子说明一下上面所说的几点：
假设某系统 x ˙ = u + w \dot{x}=u+w x˙=u+w，其中 x x x为状态量（也是被控量）， u u u为控制量， w w w为未知的总扰动（包括模型偏差或者外部扰动等等）。
比较两种情况，一种是 w w w没有被补偿，在线性反馈的基础上加上积分反馈去抵消，以达到无静差的目的。另一种是把 w w w补偿掉，只剩一个积分环节，采用普通的线性反馈。
第一种情况： u = − K P ∗ x − K I ∗ ∫ x d τ u=-K_P*x-K_I*\int{x}d\tau u=−KP∗x−KI∗∫xdτ
w = 0.2 , x 0 = 1 w=0.2,x_0=1 w=0.2,x0=1，取 K P = 2 K_P=2 KP=2
先看一下没有积分反馈（也就是
K
I
=
0
K_I=0
KI=0）时
x
x
x最后能控成什么样子
得到的
x
x
x 的仿真结果为：
接着给出有积分反馈（如上上图，也就是
K
I
=
0.8
K_I=0.8
KI=0.8）时
x
x
x最后能控成什么样子
得到的
x
x
x 的仿真结果为：
再看一下 K I ∗ ∫ x d τ K_I*\int{x}d\tau KI∗∫xdτ与 w w w的对比情况
这里说的是积分器对扰动的观测效果，其实应该是补偿效果。可以看到积分环节产生的超调现象比较明显，并且如果积分增益取大了则超调就大，如果取的小则收敛就慢，没辙。
第二种情况我们把扰动去掉（假设被观测出来然后补偿掉了），只用一个 K P K_P KP来控，那么结果的就很容易想到了：闭环之后这是一个单纯的惯性环节，没有超调，收敛的快慢只和增益有关，增益越大，收敛越快。
和前面的图6一样：
对于一阶系统来说，就是把模型补偿成一个积分环节（ n n n阶系统补偿之后就是 n n n个积分串在一起）。
x
x
x 的仿真结果：
通过对比可以发现，还是把扰动补偿掉更好。
利用扩张状态观测器，ADRC理论上可以把一个任意阶的系统补偿成任意阶的积分链，然后就可以用简单的线性控制方法去实现控制了，而且也能得到较好的控制效果。所以说扩张状态观测器是ADRC的精髓，把前面的跟踪微分器换成一个别的什么的线性滤波器没问题，把非线性反馈换回线性反馈没问题，但是这个观测扰动并补偿的思想不能丢。
前面一直是一些简单的例子解释说明ADRC的各个组成部分，只是对概念的理解。接下来要给出ADRC的公式以及我对其参数的理解，理解参数的含义能够大大提升参数整定的能力。
下次再写。
这部分的饼也先画上，其实模型和脚本我都已经弄好了。
发现这个ADRC还真挺好用的，而且里面的一些思想其实和一些非线性控制都是相通的。
比如指令滤波和指令微分器，这个在反步法里也是标配的，不过反步法里的指令微分直接拿来做前馈补偿的，不是用来计算误差微分的。
再比如非线性反馈，这是（终端）滑模控制里的嘛，不过滑模控制证明稳定性更容易一些。
最后是这个扩张状态观测器，本来是在龙伯格观测器基础上扩张了一个误差状态，然后把里面的线性项换成了非线性项，使其收敛更加快速，但是改造完之后这个ESO就跟高阶滑模观测器很像了。
