李群、李代数之我的理解

我目前的研究领域转到了立体匹配方向。但是基础很薄弱，很多理论知识都需要补充。希望自己能够满满的累积起足够的基础知识。这篇博客主要是记录自己对李群、李代数的初步理解，还请大家一些讨论进步。

参考资料

• lie group and computer vision : 李群、李代数在计算机视觉中的应用:这篇文章讲解的很好、很基础，非常适合啥也不懂的小白。很佩服能如此分享知识的大佬。

我的理解

1：反对称矩阵

一个反对称矩阵 u ^ ∈ R 3 ∗ 3 \hat u \in R^{3*3} u^∈R3∗3 我们可以找到一个向量 u ∈ R 3 u \in R^3 u∈R3 与其对应，其构成如下：

2：旋转矩阵的性质

寻找矩阵的性质之一为 R ( t ) R T ( t ) = I R(t)R^T(t) = I R(t)RT(t)=I。

李代数和李群

由 1 和 2 我们可以得到，对于任意一个旋转矩阵R(t)，有：

其中 w ^ ( t ) \hat w(t) w^(t) 是向量 w w w 对应的反对称矩阵。而导数等与本身不就是指数函数吗？

李代数就是反对称矩阵的集合，当R为单位矩阵时R的导数的集合。

李群就是所有旋转矩阵的集合，也就是R的集合。

上式中的约束表示R是旋转矩阵。由前面的推导公式三知道如果R是单位矩阵，那它的导数就是一个反对称矩阵，所以只有反对称矩阵组成的空间，即 so(3)，我们称之为在在单位矩阵处的正切空间tangent space.为什么称为正切呢？回忆二维曲线在某处的导数是一条切线。对于这个三维球面，那么它的导数应该是个切面。

指数映射

之后我们可以推导出如下公式：

该公式将切平面上的一点可以映射到球面体上去，这就是指数映射。

刚体变换和SE(3)

twist

前面还只说了旋转，实际上刚体变换还有平移。所以，和只有旋转矩阵构成的李群SO(3) 一样，我们也可以有由刚体变换得到的李群SE(3) :

和之前的推导一样，我们可以对如下的刚体变换矩阵求导：

存在 w ^ ( t ) ∈ s o ( 3 ) , v ( t ) ∈ R 3 \hat w(t) \in so(3), v(t) \in R^3 w^(t)∈so(3),v(t)∈R3 使得如下两式成立：

也就是：

定义 ξ ^ ∈ R 4 \hat \xi \in R^4 ξ^​∈R4：

有：

ξ ^ ∈ R 4 × 4 \hat\xi \in R^{4×4} ξ^​∈R4×4可以称之为在曲线g(t)处的”正切向量”,而在机器人领域，我们称它为twist。这个twist呢，就像我们开葡萄酒塞时螺旋的角速度和前进的线速度。于是把这些twist集合起来就有了刚体变换的李代数se(3):

也可以表示为六维向量：

最后也有指数映射：