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由取样后的函数的连续变换得到的DFT
有时候，不是我们学不懂，而是大神们太低估我们跟他之间的鸿沟。作为一名不务正业的程序员的工科生，反正我读不懂标题是觉得很难受的。
1. 取样后的函数？
何为取样后的函数？我们往前翻一翻，在取样定理中就聊过了。
取样是为了干什么？当然是为了把时域的连续函数变成计算机可以处理的离散点。
2. 什么是取样后的函数的连续变换？
我们要理解这里的连续变换指的是什么？简单的说就是离散时间傅里叶变换（DTFT）。不要觉得引入了新名词就觉得高大上，他是对取样后函数的傅里叶变换，我们在取样函数的傅里叶变换这一节中已经详细的说过了。
可见，对取样后的函数做傅里叶变换是一个连续的周期函数。
即：一个在时域上的离散函数，傅里叶变换后它的频域上的变换可以是连续的，并且是周期的。
3. 什么是由取样后的函数的连续变换得到的DFT？
DFT(DiscreteFourier Transform)离散傅里叶变换的缩写。它是傅里叶变换在时域和频域上都呈现离散的形式，将时域信号的采样变换为在离散时间傅里叶变换（DTFT）频域的采样。
没找到雷神画的，自己标注一下吧
取样后的函数是变成离散的计算机可以处理的数据了，但是变换后的频域上还是连续的啊。怎么让计算机连频域上的数据都可以处理呢？对！老方法再用一次，对频域信号进行采样呗~
好了，这个标题的信息量有些大，读懂了标题，我相信内容就简单多了！
为了方便，我们把常用的一些符号先贴过来！
-
为原函数，
为原函数
的傅里叶变换；
-
为取样后函数，
为取样后函数
的傅里叶；
-
为频域内的一个带通滤波器；
-
，用带通滤波器又截取了
的一个周期；
寻找
之前，我们一直讨论了一个取样过、带限的、扩展到
到
范围的函数的傅里叶变换
，如下图，它也是一个扩展到扩展到
到
范围的周期函数。
我们知道了
是
的傅里叶变换：
而
是
经过
采样而来，所以：
注：
何为
，这里其实是借鉴了冲激函数采样的公式
而
为周期为
的无限周期连续函数。因此，我们只需要表征
的一个周期，对一个周期取样是DFT的基础。
假设我们想要在周期
到
之间得到的
的
个等间距样本，可以通过加如下频率处取样得到：
注：
这里已经开始对频率域的
进行一个周期采样啦。
把
代入上式，我们用
表示得到的结果：
哈哈，
不就是我们定义的DFT吗？（对频域上连续函数进行采样），没错，这就是离散傅里叶变换的表达式！
有没有
？
当然有，它应该是一个原函数
的M个样本组成的集合
总结：
- 我们可以把DFT和IDFT两个表达式互带一下，结果肯定是恒等的，所以他们互为逆变换。
- 有意思的是，我们虽然引入了采样间隔
，但是在DFT以及IDFT中并没有关于采样间隔的表示。这说明离散傅里叶变换对适用于任何均匀采样的有限离散样本集。
- 为了方便起见，我们一般把离散傅里叶变换对写成如下方式：
- 离散傅里叶变换对都是无限周期的，即
和
- 卷积也有离散表达式，并且卷积和式周期的：
完美！
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