【图像处理】墨西哥小波和带通滤波

一、说明

        在连续小波的家族当中，埃尔米特小波是个非常特别的存在（应用在连续小波转换称作埃尔米特转换）。Ricker子波计算电动力学的广谱源项。它通常只在美国才会被称作墨西哥帽小波，因为在作为核函数处理2维图像时，形成了墨西哥宽边帽的形状。

二、带通滤波器

2.1 原理和概念

        在电子和信号处理中，滤波器通常是一个双端口电路或设备，可以去除信号（交流电压或电流）的频率分量。带通滤波器允许特定频带内的成分通过，称为通带，但阻止频率高于或低于该频带的成分。

         然而，在图像处理中，带通滤波器是个什么概念呢？

         在图像中，信号未必看成是频率，而带通滤波可以看成是窗口，与窗口作内积得结果，留在图像位置上。

2.2 墨西哥小波

        Ricker 小波

        是对高斯函数的二阶导数进行取反并归一化的结果，也就是能够缩放正规化的第二埃尔米特函数。在连续小波的家族当中，埃尔米特小波是个非常特别的存在（应用在连续小波转换称作埃尔米特转换）。Ricker子波经常被采用来模拟地震数据，并作为在计算电动力学的广谱源项。它通常只在美国才会被称作墨西哥帽小波，因为在作为核函数处理2维图像时，形成了墨西哥宽边帽的形状。 由于神经科学家David Marr[2][3] 的缘故，该函数也被广泛称为 Marr wavelet 。

        而多维一般化的墨西哥帽小波称为高斯函数的拉普拉斯。实际上，这种小波有时会用高斯函数的差来逼近，因为它可以被分离[4]，也因此在二维或者更多维的情况下，能够节省大量的计算时间。规模标准化拉普拉斯经常被用来作为一个blob检测和计算机视觉应用中的自动规模选择。墨西哥帽小波也可以用Cardinal B-Slines 的微分来逼近。

2.3 带通滤波数学实验

  通过下列滤波器，

对图像进行滤波，图像现在提供为：

代码如下： 

import cv2
import numpy as np
kernel = np.array( [
    [0,-2,-2,-2,0],
    [ -2,0,3,0,-2],
    [-2,3,12,3,-2],
    [ -2,0,3,0,-2],
    [0,-2,-2,-2,0]], np.float32 )

dst = cv2.filter2D(img,-1,kernel)

# cv2.imshow("org",img )
cv2.imshow("goss",dst )
# dst2 = cv2.filter2D(img,-1,kernel)
# cv2.imshow("dest2",dst2 )
cv2.waitKey(0)
cv2.destroyAllWindows()

我们观察运算结果：

 2.4 窗口函数和分析

窗口函数的特征：

• 窗口函数就是小波过滤函数，有起码的波函数和尺度函数。
• 草帽函数可以通过点和边缘信号。
• 对于平面信号，因为窗口两侧数据堆成，草帽函数内积为0，即阻止通过。
• 对于斜坡信号尚未测试，但是可设阈值通过。

三、结论

        所谓带通滤波器，在二维形式上应该是“点通”滤波器。

        在Marr 小波的作用下，点信号、边缘信号可以顺利提取出达到带通滤波的特征提取。

        在halcon中采用 bandpass_image(Image : ImageBandpass : FilterType : )函数进行，与此类同。