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离散时间傅里叶变换(一)

2023-05-16

一、非周期信号的表示：离散时间博里叶变换

1.1、离散时间傅里叶变换的导出

1、 离散时间傅里叶变换对(要清楚推导过程)
在这里插入图片描述

  1. X(ejw)称为离散时间傅里叶变换，这一对式子就是离散时间傅里叶变换对。

  2. 上式称为综合公式，下式称为分析公式。

2、离散时间傅里叶变换和连续时间情况相比具有许多相似之处。两者的主要差别在于离散时间变换X(ejw)的周期性和综合公式中的有限积分区间。

例一：
在这里插入图片描述
例二：
在这里插入图片描述
例三：
在这里插入图片描述

1.2、关于离散时间博里叶变换的收敛问题

1、在信号为无限长的情况下，必须考虑下式
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中无穷项求和的收敛问题。

如果x[n]是绝对可和的，即
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或者，如果这个序列的能量是有限的，即
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那么就一定收敛。

2、下式
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的积分是一个有限的积分区间内进行的，因此不存在收敛问题。

二、周期信号的傅里叶变换

1、考虑如下信号
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x[n]的傅里叶变换正是如下冲激串
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2、考虑一个周期序列x[n]，周期为N，其傅里叶级数为
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这时，傅里叶变换就是
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这样，一个周期信号的傅里叶变换就能直接从他的傅里叶系数得到。

三、由线性常系数差分方式表征的系统

1、对于一个线性时不变系统而言，其输出y[n]和输入x[n]之间的线性常系数差分方程一般具有如下形式：
在这里插入图片描述
此性式的差分方程一般称为N阶差分方程。

有两个方法来确定H(ejw)
①第一种是利用复指数是线性时不变系统特征函数来求。

②第二种是利用离散时间傅里叶变换的卷积，线性和时移性质来求。

2、设X(ejw)、Y(ejw)和H(ejw)分别是输出x[n]、输出y[n]和单位冲脉冲响应h[n]的傅里叶变换，那么离散时间傅里叶变换的卷积性质就意味着有
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两边应用傅里叶变换，并利用线性和时移性质，可得
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或等效为
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