非线性控制1.1——稳定与跟踪问题概念

2023-05-16

一、非线性控制系统的两大任务

1. 稳定（或称调节）问题

稳定问题是要使得闭环系统的状态稳定在一个平衡点附近。对于稳定问题，系统的输出不一定要有具体的物理意义，此时可以借助输入-输出状态线性化方法把原非线性熊转换为线性系统，从而用线性系统额理论解决系统的稳定问题。

2. 跟踪（或称伺服）问题

跟踪问题是要使得闭环系统的输出跟踪一个给定的时变轨迹。其定义如下：

对于给定的某一连续信号 $y_{r}(t)$ ，控制输出 $y(t)$ 满足下述条件：

$\lim_{t\rightarrow \infty }[y(t)-y_{r}(t)]=0$

称上述问题为渐近跟踪问题。

跟踪问题与镇定问题的区别：跟踪问题相比于镇定问题要求更为严格，镇定问题只需确保系统状态稳定在某个区域或者某个点，而跟踪问题在稳定的前提下，还需要系统的实际输出跟随期望输出，即两者之间的误差趋于零。因此，在解决跟踪问题时，需要将期望的输出或者状态量考虑在内，构造一个增广系统，确保增广系统渐近稳定，则可实现期望输出或者期望状态的跟随。

二、重要定理

如果 $u=\begin{bmatrix} K_{x} & K_{y} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y_{e} \end{bmatrix}=K_{x}x+K_{e}y_{e}$ 是增广系统

$\left\{\begin{matrix} \begin{bmatrix} \dot{x}\\ \dot{y_{e}} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} A &0 \\ C & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y_{e} \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} B\\ 0 \end{bmatrix}u -\begin{bmatrix} 0\\ y_{r} \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} F\\ 0 \end{bmatrix}d \\ y=\begin{bmatrix} C & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y_{e} \end{bmatrix}\end{matrix}\right.$

的一个状态反馈镇定率，则在干扰d为定常的条件下，系统

$\left\{\begin{matrix} \dot{x}=Ax+Bu+Fd\\ y=Cx \end{matrix}\right.$

可在控制率

$u=\begin{bmatrix} K_{x} & K_{y} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y_{e} \end{bmatrix}=K_{x}x+K_{e}y_{e}$

的作用下实现其输出对于输入信号的渐近跟踪。

三、渐近跟踪实例仿真

3.1 系统方程

给定受控系统为

$\left\{\begin{matrix} \dot{x}=\begin{bmatrix} 0 & 1\\ -2& 1 \end{bmatrix}x+\begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}u+\begin{bmatrix} d_{1}\\ d_{2} \end{bmatrix}\\ y=\begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}x \end{matrix}\right.$

其中，参考信号 $y_{r}(t)$ 和干扰信号 $d_{1}(t)$ 和 $d_{2}(t)$ 均为正弦信号，要求设计系统的渐近跟随控制器 $u(t)$ 。

3.2 控制器设计

1. 主函数（main.m）

clc
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x0 = [1;0;0.5];

[t,x] = ode45(@gsq,[0,10],x0);
yr = sin(t);

figure;
plot(t,x(:,1),'r-');  % y的实际输出值
hold on;
plot(t,yr,'b-');      % y的期望值
xlabel('时间/s'); ylabel('期望输入与跟随输出');

2. 跟随控制器（gsq.m）

function dx = gsq(t,x)

yr = sin(t);  % 期望输出
d1 = sin(t); d2 = cos(t);   % 扰动信号

y = x(1);          % 输出方程

e = y - yr;   % 输出误差

%u = Kx*x + Ky*e;
u = -4*x(1)-5*x(2)-4*e;  % 控制输入

dx(1) = x(2) + d1;                  % 系统方程
dx(2) = -2*x(1)+x(2)+u+d2;

dx(3) = x(1) - yr;     % ye 输出误差

dx = dx';
end

3.3 仿真结果分析

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