二叉排序树的删除

（网上讲二叉排序树删除的资料很少，这篇很不错！转自：http://bbs.csdn.net/topics/110010437）

二叉排序树的删除：
      对于一般的二叉树来说，删去树中的一个结点是没有意义的，因为它将使以被删除的结点为根的子树变成森林，破坏了整棵树的结构
但是，对于二叉排序树，删去树上的一个结点相当于删去有序序列中的一个记录，只要在删除某个结点后不改变二叉排序树的特性即可。
      在二叉排序树上删除一个结点的算法如下：

btree * DeleteBST(btree *b, ElemType x)
{
      if (b)
      {
            if (b->data == x)
                  b = DelNode(b);
            else if (b->data > x)
                  b->lchild = DeleteBST(b->lchild, x);
            else
                  b->rchild = DeleteBST(b->rchild, x);
      }
      return b;
}

其中删除过程有两种方法。
第一种过程如下：
1。若p有左子树，找到其左子树的最右边的叶子结点r，用该叶子结点r来替代p，把r的左孩子
作为r的父亲的右孩子。
2。若p没有左子树，直接用p的右孩子取代它。

第二种过程如下：
1。若p有左子树，用p的左孩子取代它；找到其左子树的最右边的叶子结点r，把p的右子树作为r
的右子树。
2。若p没有左子树，直接用p的右孩子取代它。
    两种方法各有优劣，第一种操作简单一点点，但均衡性不如第二种，因为它将结点p的右子树
全部移到左边来了。下面将分别以两种种思路编写代码。
第一种：

btree * DelNode(btree *p)
{
      if (p->lchild)
      {
            btree *r = p->lchild;   //r指向其左子树;
        while(r->rchild != NULL)//搜索左子树的最右边的叶子结点r
        {
            r = r->rchild;
        }
            r->rchild = p->rchild;

            btree *q = p->lchild;   //q指向其左子树;
            free(p);
            return q;
      }
      else
      {
            btree *q = p->rchild;   //q指向其右子树;
            free(p);
            return q;
      }
}

btree * DelNode(btree *p)
{
      if (p->lchild)
      {
            btree *r = p->lchild;   //r指向其左子树;
            btree *prer = p->lchild;   //prer指向其左子树;
        while(r->rchild != NULL)//搜索左子树的最右边的叶子结点r
        {
                  prer = r;
            r = r->rchild;
        }

        if(prer != r)//若r不是p的左孩子，把r的左孩子作为r的父亲的右孩子
        {
                  prer->rchild = r->lchild;
                  r->lchild = p->lchild; //被删结点p的左子树作为r的左子树
            }
        r->rchild = p->rchild; //被删结点p的右子树作为r的右子树

            free(p);
            return r;
      }
      else
      {
            btree *q = p->rchild;   //q指向其右子树;
            free(p);
            return q;
      }
}

btree * DelNode(btree *p)
{
      if (p->lchild)
      {
            btree *r = p->lchild;   //r指向其左子树;
            btree *prer = p->lchild;   //prer指向其左子树;
        while(r->rchild != NULL)//搜索左子树的最右边的叶子结点r
        {
                  prer = r;
            r = r->rchild;
        }
            p->data = r->data;

        if(prer != r)//若r不是p的左孩子，把r的左孩子作为r的父亲的右孩子
                  prer->rchild = r->lchild;
            else
            p->lchild = r->lchild; //否则结点p的左子树指向r的左子树

            free(r);
            return p;
      }
      else
      {
            btree *q = p->rchild;   //q指向其右子树;
            free(p);
            return q;
      }
}

 http://www.programfan.com/

——————————————————————————————————————————————————————————————————

1.二叉排序树的概念:
  二叉排序树是一种动态树表。
   二叉排序树的定义：二叉排序树或者是一棵空树，
   或者是一棵具有如下性质的二叉树：
     ⑴ 若它的左子树非空，则左子树上所有结点的值均小于根结点的值；
     ⑵ 若它的右子树非空，则右子树上所有结点的值均大于根结点的值；
     ⑶ 左、右子树本身又各是一棵二叉排序树。二叉排序树的性质： 按中序遍历二叉排序树，所得到的中序遍历序列是一个递增有序序列

2.二叉排序树的插入:
   在二叉排序树中插入新结点，要保证插入后的二叉树仍符合二叉排序树的定义。
   插入过程：若二叉排序树为空，则待插入结点*S作为根结点插入到空树中；
   当非空时，将待插结点关键字S->key和树根关键字t->key进行比较，
   若s->key = t->key,则无须插入，若s->key< t->key,则插入到根的左子树中，
   若s->key> t->key,则插入到根的右子树中。而子树中的插入过程和在树中的插入过程相同，
   如此进行下去，直到把结点*s作为一个新的树叶插入到二叉排序树中，或者直到发现树已有相同关键字的结点为止。

3. 二叉排序树生成：
   从空的二叉排序树开始，经过一系列的查找插入操作以后，生成了一棵二叉排序树。
   说明：
     ① 每次插入的新结点都是二叉排序树上新的叶子结点。
     ② 由不同顺序的关键字序列，会得到不同二叉排序树。
     ③ 对于一个任意的关键字序列构造一棵二叉排序树，其实质上对关键字进行排序。

4.二叉排序树查找的程序实现:
 #include<malloc.h>
#include<iostream.h>
#include<stdio.h>
typedef struct BiTNode{
 int data;
 int flag;
 struct BiTNode *lchild,*rchild;
}BTNode,BTree;
//二叉排序树的查找非递归算法
//在二叉排序树T中查找关键字为key的元素，若找到返回true,
//否则返回false.
bool SearchBST(BTree *T,int key){
 BTree *p=T;
 while(p){
  if(p->data==key)
   return true;  
  p=(key<p->data)? p->lchild:p->rchild;
 }
 return false;
}
//二叉排序树的查找递归算法
//在二叉排序树T中查找关键字为key的元素，若找到返回true,
//否则返回false.
bool SearchBST2(BTree *T,int key){
 BTree *p=T;
 if(!p)
  return false;
 else 
  if(p->data==key)
   return true;
  else 
   if(key>p->data)
    return SearchBST2(p->rchild,key);
   else
    return SearchBST2(p->lchild,key);
}
//建立二叉排序树
//当二叉排序树T中不存在关键字为key的元素时，插入key,并返回树的根，
//否则不插入,并返回树的根。   
BTree* InsertBST(BTree *T,int key){
 BTree *f=T,*p=T;
 while(p){
  if(p->data==key) return T;
  f=p;//用f记下查找路径上的最后一个访问的节点
  p=(key<p->data)? p->lchild:p->rchild;
 }
 p=(BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
 p->data=key;
 p->lchild=p->rchild=NULL;
 if(T==NULL) 
  T=p;
 else 
  if (key<f->data)
   f->lchild=p;
  else 
   f->rchild=p;
 return T;
}
//递归中序遍历
void InOrderDisplay(BTree *T){
 if(T){  
  InOrderDisplay(T->lchild);
  cout<<T->data;
  InOrderDisplay(T->rchild);
 }
}

//test:
int main(){
 int i;
 int data;
 BTree *tree=NULL;
 for(i=0;i<4;i++){
  cout<<"input data"<<endl;
  cin>>data;
  tree=InsertBST(tree,data);
 }
 InOrderDisplay(tree);
 bool find=SearchBST2(tree,24);
 cout<<find<<endl;
 return 0;
}

5. 二叉排序树的删除:
  
假设被删结点是*p，其双亲是*f，不失一般性，设*p是*f的左孩子，下面分三种情况讨论：
⑴ 若结点*p是叶子结点，则只需修改其双亲结点*f的指针即可。
⑵ 若结点*p只有左子树PL或者只有右子树PR，则只要使PL或PR 成为其双亲结点的左子树即可。
⑶ 若结点*p的左、右子树均非空，先找到*p的中序前趋结点*s（注意*s是*p的左子树中的最右下的结点，它的右链域为空），然后有两种做法：
① 令*p的左子树直接链到*p的双亲结点*f的左链上,而*p的右子树链到*p的中序前趋结点*s的右链上。
② 以*p的中序前趋结点*s代替*p（即把*s的数据复制到*p中），将*s的左子树链到*s的双亲结点*q的左（或右）链上。(在下面的演示算法中用的就是此方法)


6. 删除算法演示 :

//删除二叉排序树中的一个节点
//在二叉排序树T中删除关键字为key的结点
void DelBST(BTree *T,int key){
 BTree *p=T,*f,*q,*s,*root=T;
 while(p){
  if(p->data==key) break; //找到关键字为key的结点
        f=p;//记下关键字key节点的父节点
  p=(key<p->data)?p->lchild:p->rchild;//分别在*p的左、右子树中查找
 }
 if(!p) return;//二叉排序树中无关键字为key的结点
 if(p->lchild==NULL&&p->rchild==NULL){//p没有左右子树
  if(p==T) T=NULL;//删除的是根节点
  else
   if(p==f->lchild)
    f->lchild=NULL;
   else
    f->rchild=NULL;
 free(p);
 }
 else if(p->lchild==NULL&&p->rchild!=NULL)//p无左子树有右子树
 { 
  if(f->lchild==p)
   f->lchild=p->rchild; //将p的右子树链接到其父结点的左链上
  else
   f->rchild=p->rchild; //将p的右子树链接到其父结点的右链上
  free(p);
 }
    else if(p->rchild==NULL&&p->lchild!=NULL)//p有左子树无右子树
 { 
  if (f->lchild==p)               
   f->lchild=p->lchild; //将p的左子树链接到其父结点的左链上
  else
   f->rchild=p->lchild; //将p的左子树链接到其父结点的右链上
  free(p);
 }
 else if(p->lchild!=NULL&&p->rchild!=NULL)//p既有左子树又有右子树
 {
  q=p;
  s=p->lchild;//转左
  while(s->rchild){//然后向右到尽头
   q=s;
   s=s->rchild;//s指向被删节点的“前驱”(中序前驱)
  }
  p->data=s->data;//以p的中序前趋结点s代替p（即把s的数据复制到p中）
  if(q!=p) q->rchild=s->lchild;//重接q的右子树
  else q->lchild=s->lchild;//重接q的左子树。
  free(s);
    }
}

7. 二叉排序树的查找:
  在二叉排序树中进行查找的过程和二分查找类似，也是一个逐步缩小查找范围的过程。若查找成功，则是走了一条从根结点到待查结点的路径；若查找失败，则是走了一条根结点到某个叶子结点的路径。因此，查找过程中和关键字比较的次数不超过树的深度。
   由于含有n个结点的二叉排序树不唯一，形态和深度可能不同。故含有n个结点的二叉排序树的平均查找长度和树的形态有关。
   最好的情况是： 二叉排序树和二叉判定树形态相同。
   最坏的情况是： 二叉排序树为单支树，这时的平均查找长度和顺序查找时相同。
   最坏情况示例 
   就平均性能而言，二叉排序树上的查找和二分查找相差不大，并且二叉排序树上的插入和删除结点十分方便，无须大量移动结点。