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格林公式、高斯公式及斯托克斯公式的理解及相互关系

2023-05-16

 最近要推倒波动方程积分解，要对散度、旋度以及他们之间的相互关系有一个理解。看了两天，自己认为理解的差不多了，现在写在这个地方，作为笔记，以后忘记了拿过来看一下，加深一下印象。

前面已经在从知乎几个大神那里转载了一些比较通俗易懂的三个公式的推导，现在着重讲一下本人所理解的几个公式之间的相互关系及物理意义。

格林公式其实表达的是能量守恒的关系，比较详细的解释可以参照知乎的这篇文章（https://www.zhihu.com/question/22674439），其主要功能是构建曲线积分和曲面积分的关系，推倒过程简述如下：

最终可得如下结果：

将其拓展到三维，就得到斯托克斯公式，其表达式为

将散度展开，则表达式为

比较格林公式和斯托克斯公式，可以看到格林公式是斯托克斯公式在xy面上的投影

不过斯托克斯公式从做功的角度进行理解还是有点太抽象，本来这个公式的产生是为了计算物理中的磁场通量，即电场产生磁场，规定线圈逆时针为正方向，用右手定律可知z方向为磁通量正方向（如上图），而磁通量可以按照曲面形状分别投影到三个坐标平面进行求取，即三个坐标平面的投影面积乘上相对应的磁通量分量，这样理解的话与高斯公式有一定的相似之处（都是计算通量），可以说高斯公式是斯托克斯公式的特殊情况，只是高斯公式构建了三维体积分和闭合曲面积分之间的关系，而斯托克斯公式构建的是面积分和闭合曲线之间的关系（曲面可以不闭合）。这么说可能还是有点抽象，现在给出高斯公式的具体物理意义：

比如说，闭合曲面中有很多点往外散发能量，现在要求取闭合曲面往外散射的能量（通过闭合曲面的能量），这个时候有两种方法，一种是在闭合曲面上取很小的一个面积乘上这个面积上的强度，按照微积分学的基本思想，在曲面上求取曲面积分，其表达式为

另外一种方法就是对闭合曲面内中的每个点进行体积分，其表达式为

这就是高斯公式的表达式。

将高斯公式与斯托克斯公式进行比较，可以发现

  1. 二者都是描述通量，不同之处在于高斯公式对应有源闭合曲面情况，斯托克斯公式对应无源曲面情况，在此种情况下如果都为闭合曲面，斯托克斯公式对应的通量为零，高斯公式对应的通量非零；
  2. 斯托克斯公式对应的通量是矢量（平行曲面法向方向），高斯公式对应的通量为标量没有方向，这是二者本质区别；

由以上分析可以知道  高斯公式是斯托克斯公式的特殊形式，在一定情况下斯托克斯公式能退化成高斯公式。

以上是我对这三个公式的理解，如有不当或者错误的地方，大神们请提出宝贵意见。

另外插播一条广告，摘抄的方向导数

 

 

 

现在我们来讨论函数在一点沿某一方向的变化率问题.

定义 设函数在点的某一邻域内有定义.自点引射线.设轴正向到射线的转角为（逆时针方向：0；顺时针方向：0），并设＇(+△,+△)为上的另一点且＇∈.我们考虑函数的增量(+△,+△)－与、＇两点间的距离的比值.当＇沿着趋于时，如果这个比的极限存在，则称这极限为函数在点沿方向的方向导数，记作，即

                              (1)

从定义可知，当函数在点的偏导数x、y存在时，函数在点沿着轴正向=，轴正向=的方向导数存在且其值依次为x、y，函数在点沿轴负向=，轴负向=的方向导数也存在且其值依次为-x、-y.

关于方向导数的存在及计算，我们有下面的定理.

定理  如果函数在点是可微分的，那末函数在该点沿任一方向的方向导数都存在，且有

                                                    (2)

其中为轴到方向的转角.

证  根据函数在点可微分的假定，函数的增量可以表达为

           

两边各除以，得到

                     

所以                 

这就证明了方向导数存在且其值为

                           

 

完毕

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格林公式

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