麦克纳姆轮全向移动原理

2023-05-16

什么是麦克纳姆轮

在竞赛机器人和特殊工种机器人中，全向移动经常是一个必需的功能。「全向移动」意味着可以在平面内做出任意方向平移同时自转的动作。为了实现全向移动，一般机器人会使用「全向轮」（Omni Wheel）或「麦克纳姆轮」（Mecanum Wheel）这两种特殊轮子。

全向轮：

麦克纳姆轮：

全向轮与麦克纳姆轮的共同点在于他们都由两大部分组成：轮毂和辊子（roller）。轮毂是整个轮子的主体支架，辊子则是安装在轮毂上的鼓状物。全向轮的轮毂轴与辊子转轴相互垂直，而麦克纳姆轮的轮毂轴与辊子转轴呈 45° 角。理论上，这个夹角可以是任意值，根据不同的夹角可以制作出不同的轮子，但最常用的还是这两种。

全向轮与麦克纳姆轮（以下简称「麦轮」）在结构、力学特性、运动学特性上都有差异，其本质原因是轮毂轴与辊子转轴的角度不同。经过分析，二者的运动学和力学特性区别可以通过以下表格来体现。

计算过程如下，供参考，学霸可点开大图验算：

近年来，麦轮的应用逐渐增多，特别是在 Robocon、FRC 等机器人赛事上。这是因为麦克纳姆轮可以像传统轮子一样，安装在相互平行的轴上。而若想使用全向轮完成类似的功能，几个轮毂轴之间的角度就必须是 60°，90° 或 120° 等角度，这样的角度生产和制造起来比较麻烦。所以许多工业全向移动平台都是使用麦克纳姆轮而不是全向轮，比如这个国产的叉车：全向移动平台麦克纳姆轮叉车美科斯叉车

另外一个原因，可能是麦轮的造型比全向轮要酷炫得多，看起来有一种不明觉厉的感觉……

的确，第一次看到麦轮运转起来，不少人都会惊叹。以下视频直观地说明了麦轮底盘在平移和旋转时的轮子旋转方向。

视频封面

麦克纳姆轮工作原理—在线播放—优酷网，视频高清在线观看

视频

麦轮的安装方法

麦轮一般是四个一组使用，两个左旋轮，两个右旋轮。左旋轮和右旋轮呈手性对称，区别如下图。

安装方式有多种，主要分为：X-正方形（X-square）、X-长方形（X-rectangle）、O-正方形（O-square）、O-长方形（O-rectangle）。其中 X 和 O 表示的是与四个轮子地面接触的辊子所形成的图形；正方形与长方形指的是四个轮子与地面接触点所围成的形状。

X-正方形：轮子转动产生的力矩会经过同一个点，所以 yaw 轴无法主动旋转，也无法主动保持 yaw 轴的角度。一般几乎不会使用这种安装方式。
X-长方形：轮子转动可以产生 yaw 轴转动力矩，但转动力矩的力臂一般会比较短。这种安装方式也不多见。
O-正方形：四个轮子位于正方形的四个顶点，平移和旋转都没有任何问题。受限于机器人底盘的形状、尺寸等因素，这种安装方式虽然理想，但可遇而不可求。
O-长方形：轮子转动可以产生 yaw 轴转动力矩，而且转动力矩的力臂也比较长。是最常见的安装方式。

麦轮底盘的正逆运动学模型

以O-长方形的安装方式为例，四个轮子的着地点形成一个矩形。正运动学模型（forward kinematic model）将得到一系列公式，让我们可以通过四个轮子的速度，计算出底盘的运动状态；而逆运动学模型（inverse kinematic model）得到的公式则是可以根据底盘的运动状态解算出四个轮子的速度。需要注意的是，底盘的运动可以用三个独立变量来描述：X轴平动、Y轴平动、yaw 轴自转；而四个麦轮的速度也是由四个独立的电机提供的。所以四个麦轮的合理速度是存在某种约束关系的，逆运动学可以得到唯一解，而正运动学中不符合这个约束关系的方程将无解。

先试图构建逆运动学模型，由于麦轮底盘的数学模型比较复杂，我们在此分四步进行：

①将底盘的运动分解为三个独立变量来描述；

②根据第一步的结果，计算出每个轮子轴心位置的速度；

③根据第二步的结果，计算出每个轮子与地面接触的辊子的速度；

④根据第三部的结果，计算出轮子的真实转速。

一、底盘运动的分解

我们知道，刚体在平面内的运动可以分解为三个独立分量：X轴平动、Y轴平动、yaw 轴自转。如下图所示，底盘的运动也可以分解为三个量：

$v_{t_x}$ 表示 X 轴运动的速度，即左右方向，定义向右为正；

$v_{t_y}$ 表示 Y 轴运动的速度，即前后方向，定义向前为正；

$\vec{\omega}$ 表示 yaw 轴自转的角速度，定义逆时针为正。

以上三个量一般都视为四个轮子的几何中心（矩形的对角线交点）的速度。

二、计算出轮子轴心位置的速度

定义：

$\vec{r}$ 为从几何中心指向轮子轴心的矢量；

$\vec{v}$ 为轮子轴心的运动速度矢量；

$\vec{v_r}$ 为轮子轴心沿垂直于 $\vec{r}$ 的方向（即切线方向）的速度分量；

那么可以计算出：

$\vec{v}=\vec{v_t}+\vec{\omega} \times \vec{r}$

分别计算 X、Y 轴的分量为：

$\begin{equation}
\begin{cases}
v_x=v_{t_x}-\omega \cdot r_y \\
v_y=v_{t_y}+\omega \cdot r_x \\
\end{cases}
\end{equation}$

同理可以算出其他三个轮子轴心的速度。

三、计算辊子的速度

根据轮子轴心的速度，可以分解出沿辊子方向的速度 $\vec{v_\|}$ 和垂直于辊子方向的速度 $\vec{v_\perp}$ 。其中 $\vec{v_\perp}$ 是可以无视的（思考题：为什么垂直方向的速度可以无视？），而

$\vec{v_\|}=\vec{v} \cdot \hat{u}=(v_x\hat{i}+v_y\hat{j})\cdot(-\frac{1}{\sqrt{2}}\hat{i}+\frac{1}{\sqrt{2}}\hat{j})=-\frac{1}{\sqrt{2}}v_x+\frac{1}{\sqrt{2}}v_y$

其中 $\hat{u}$ 是沿辊子方向的单位矢量。

四、计算轮子的速度

从辊子速度到轮子转速的计算比较简单：

$v_w=\frac{v_\|}{cos 45^\circ}=\sqrt{2}(-\frac{1}{\sqrt{2}}v_x+\frac{1}{\sqrt{2}}v_y)=-v_x+v_y$

根据上图所示的 $a$ 和 $b$ 的定义，有

$\begin{equation}
\begin{cases}
v_x=v_{t_x}+\omega b \\
v_y=v_{t_y}-\omega a \\
\end{cases}
\end{equation}$

结合以上四个步骤，可以根据底盘运动状态解算出四个轮子的转速：

$\begin{equation}
\begin{cases}
v_{w_1}=v_{t_y}-v_{t_x}+\omega(a+b) \\
v_{w_2}=v_{t_y}+v_{t_x}-\omega(a+b) \\
v_{w_3}=v_{t_y}-v_{t_x}-\omega(a+b) \\
v_{w_4}=v_{t_y}+v_{t_x}+\omega(a+b) \\
\end{cases}
\end{equation}$

以上方程组就是O-长方形麦轮底盘的逆运动学模型，而正运动学模型可以直接根据逆运动学模型中的三个方程解出来，此处不再赘述。

另一种计算方式

「传统」的推导过程虽然严谨，但还是比较繁琐的。这里介绍一种简单的逆运动学计算方式。

我们知道，全向移动底盘是一个纯线性系统，而刚体运动又可以线性分解为三个分量。那么只需要计算出麦轮底盘在「沿X轴平移」、「沿Y轴平移」、「绕几何中心自转」时，四个轮子的速度，就可以通过简单的加法，计算出这三种简单运动所合成的「平动+旋转」运动时所需要的四个轮子的转速。而这三种简单运动时，四个轮子的速度可以通过简单的测试，或是推动底盘观察现象得出。

当底盘沿着 X 轴平移时：

$\begin{equation}
\begin{cases}
v_{w_1}=-v_{t_x} \\
v_{w_2}=+v_{t_x} \\
v_{w_3}=-v_{t_x} \\
v_{w_4}=+v_{t_x} \\
\end{cases}
\end{equation}$

当底盘沿着 Y 轴平移时：

$\begin{equation}
\begin{cases}
v_{w_1}=v_{t_y} \\
v_{w_2}=v_{t_y} \\
v_{w_3}=v_{t_y} \\
v_{w_4}=v_{t_y} \\
\end{cases}
\end{equation}$

当底盘绕几何中心自转时：

$\begin{equation}
\begin{cases}
v_{w_1}=+\omega(a+b) \\
v_{w_2}=-\omega(a+b) \\
v_{w_3}=-\omega(a+b) \\
v_{w_4}=+\omega(a+b) \\
\end{cases}
\end{equation}$

将以上三个方程组相加，得到的恰好是根据「传统」方法计算出的结果。这种计算方式不仅适用于O-长方形的麦轮底盘，也适用于任何一种全向移动的机器人底盘。

Makeblock 麦轮底盘的组装

理论分析完成，可以开始尝试将其付诸实践了。

第一步，组装矩形框架。

第二步，组装电机模块。

由于麦轮底盘的四个轮子速度有约束关系，必须精确地控制每个轮子的速度，否则将会导致辊子与地面发生滑动摩擦，不仅会让底盘运动异常，还会让麦轮的寿命减少。所以必须使用编码电机。

第三步，将电机模块安装到框架上。

第四步，将麦轮安装到框架上。

第五步，安装电路板并接线。

编码电机必须配上相应的驱动板才能正常工作。这里使用的 Makeblock 编码电机驱动板，每一块板可以驱动两个电机。接线顺序在下文中会提及，也可以随意接上，在代码中定义好对应的顺序即可。

第六步，装上电池。

至此，一个能独立运行的麦轮底盘就完成了。

控制程序

根据麦轮的底盘的运动学模型，要完全控制它的运动，需要有三个控制量：X轴速度、Y轴速度、自转角速度。要产生这三个控制量，有很多种方法，本文将使用一个 USB 游戏手柄，左边的摇杆产生平移速度，右边的摇杆产生角速度。

首先将一个 USB Host 模块连接到 Orion 主板的 3 口。

然后插上一个无线 USB 游戏手柄。

然后再添加其他细节，就大功告成啦！

其他细节：

#include <Wire.h>
#include <SoftwareSerial.h>
#include "MeOrion.h"

MeUSBHost joypad(PORT_3);
//	手柄代码（红灯亮模式）
//	默认：128-127-128-127-15-0-0-128
//	左一：128-127-128-127-15-1-0-128
//	右一：128-127-128-127-15-2-0-128
//	左二：128-127-128-127-15-4-0-128
//	右二：128-127-128-127-15-8-0-128
//	三角：128-127-128-127-31-0-0-128 （0001 1111）
//	方形：128-127-128-127-143-0-0-128 （1000 1111）
//	叉号：128-127-128-127-79-0-0-128 （0100 1111）
//	圆圈：128-127-128-127-47-0-0-128 （0010 1111）
//	向上：128-127-128-127-0-0-0-128 （0000 0000）
//	向下：128-127-128-127-4-0-0-128 （0000 0100）
//	向左：128-127-128-127-6-0-0-128 （0000 0110）
//	向右：128-127-128-127-2-0-0-128 （0000 0010）
//	左上：128-127-128-127-7-0-0-128 （0000 0111）
//	左下：128-127-128-127-5-0-0-128 （0000 0101）
//	右上：128-127-128-127-1-0-0-128 （0000 0001）
//	右下：128-127-128-127-3-0-0-128 （0000 0011）
//	选择：128-127-128-127-15-16-0-128
//	开始：128-127-128-127-15-32-0-128
//	摇杆：右X-右Y-左X-左Y-15-0-0-128


MeEncoderMotor motor1(0x02, SLOT2);
MeEncoderMotor motor2(0x02, SLOT1);
MeEncoderMotor motor3(0x0A, SLOT2);
MeEncoderMotor motor4(0x0A, SLOT1);

//  底盘：a = 130mm, b = 120mm

float linearSpeed = 100;
float angularSpeed = 100;
float maxLinearSpeed = 200;
float maxAngularSpeed = 200;
float minLinearSpeed = 30;
float minAngularSpeed = 30;

void setup()
{
    //  要上电才能工作，不能只是插上 USB 线来调试。
	motor1.begin();
	motor2.begin();
	motor3.begin();
	motor4.begin();
	
	Serial.begin(57600);
	joypad.init(USB1_0);
}

void loop()
{
    Serial.println("loop:");
	//setEachMotorSpeed(100, 50, 50, 100);
	if(!joypad.device_online)
    {
        //  若一直输出离线状态，重新拔插 USB Host 的 RJ25 线试一下。
        Serial.println("Device offline.");
        joypad.probeDevice();
        delay(1000);
    }
    else
    {
        int len = joypad.host_recv();
        parseJoystick(joypad.RECV_BUFFER);
        delay(5);
    }
	//delay(500);
}


void setEachMotorSpeed(float speed1, float speed2, float speed3, float speed4)
{
	motor1.runSpeed(speed1);
	motor2.runSpeed(-speed2);
	motor3.runSpeed(-speed3);
	motor4.runSpeed(-speed4);
}

void parseJoystick(unsigned char *buf)   //Analytic function, print 8 bytes from USB Host
{
    //  输出手柄的数据，调试用
    // int i = 0;
    // for(i = 0; i < 7; i++)
    // {
    //     Serial.print(buf[i]);  //It won't work if you connect to the Makeblock Orion.
    //     Serial.print('-');
    // }
    // Serial.println(buf[7]);
    // delay(10);

    //  速度增减
    switch (buf[5])
    {
        case 1:
            linearSpeed += 5;
            if (linearSpeed > maxLinearSpeed)
            {
                linearSpeed = maxLinearSpeed;
            }
            break;
        case 2:
            angularSpeed += 5;
            if (angularSpeed > maxAngularSpeed)
            {
                angularSpeed = maxAngularSpeed;
            }
            break;
        case 4:
            linearSpeed -= 5;
            if (linearSpeed < minLinearSpeed)
            {
                linearSpeed = minLinearSpeed;
            }
            break;
        case 8:
            angularSpeed -= 5;
            if (angularSpeed < minAngularSpeed)
            {
                angularSpeed = minAngularSpeed;
            }
            break;
        default:
            break;
    }


    
    if ((128 != buf[0]) || (127 != buf[1]) || (128 != buf[2]) || (127 != buf[3]))
    {
        //  处理摇杆
        float x = ((float)(buf[2]) - 127) / 128;
        float y = (127 - (float)(buf[3])) / 128;
        float a = (127 - (float)(buf[0])) / 128;
        mecanumRun(x * linearSpeed, y * linearSpeed, a * angularSpeed);
    }
    else
    {
        switch (buf[4])
        {
            case 0:
                mecanumRun(0, linearSpeed, 0);
                break;
            case 4:
                mecanumRun(0, -linearSpeed, 0);
                break;
            case 6:
                mecanumRun(-linearSpeed, 0, 0);
                break;
            case 2:
                mecanumRun(linearSpeed, 0, 0);
                break;
            case 7:
                mecanumRun(-linearSpeed/2, linearSpeed/2, 0);
                break;
            case 5:
                mecanumRun(-linearSpeed/2, -linearSpeed/2, 0);
                break;
            case 1:
                mecanumRun(linearSpeed/2, linearSpeed/2, 0);
                break;
            case 3:
                mecanumRun(linearSpeed/2,  -linearSpeed/2, 0);
                break;
            default:
                mecanumRun(0, 0, 0);
                break;
        }
    }
}

void mecanumRun(float xSpeed, float ySpeed, float aSpeed)
{
    float speed1 = ySpeed - xSpeed + aSpeed; 
    float speed2 = ySpeed + xSpeed - aSpeed;
    float speed3 = ySpeed - xSpeed - aSpeed;
    float speed4 = ySpeed + xSpeed + aSpeed;
    
    float max = speed1;
    if (max < speed2)   max = speed2;
    if (max < speed3)   max = speed3;
    if (max < speed4)   max = speed4;
    
    if (max > maxLinearSpeed)
    {
        speed1 = speed1 / max * maxLinearSpeed;
        speed2 = speed2 / max * maxLinearSpeed;
        speed3 = speed3 / max * maxLinearSpeed;
        speed4 = speed4 / max * maxLinearSpeed;
    }
    
    setEachMotorSpeed(speed1, speed2, speed3, speed4);
}

转载自：知乎：【学渣的自我修养】麦克纳姆轮浅谈

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文章中所有图片资料均来自：炽点机器人

我们来画个受力示意图吧

先来看看前后移动

图中红色实线箭头是车轮向前转产生的摩擦力

蓝色箭头是车轮向后转产生的摩擦力

虚线是分力

于是左边的小车就会向前跑，右边的小车会向后跑

接下来我们画原地旋转

于是左边的小车就顺时针旋转

右边的小车逆时针旋转

让我们再来看看平移

左边的小车向左平移

右边的小车向右平移

接下来看看斜着跑

只要同向转动对角线上两个轮子，

就能斜着跑啦

转载自：CSDN:麦克纳姆轮全向移动原理

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