偏微分方程：指含有多元未知函数
u
=
u
(
x
)
,
x
=
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
X
n
)
u=u(x),x=(x_1,x_2,...,X_n)
u=u(x),x=(x1,x2,...,Xn)及其若干阶偏导数的关系式
F
(
x
,
u
,
∂
u
∂
x
1
,
∂
u
∂
x
2
,
.
.
.
,
∂
u
∂
x
n
,
.
.
.
,
∂
m
u
∂
x
1
m
1
∂
x
2
m
2
.
.
.
∂
x
n
m
n
)
=
0
F(\bold x,u,\frac{\partial u}{\partial x_1},\frac{\partial u}{\partial x_2},...,\frac{\partial u}{\partial x_n},...,\frac{\partial^m u}{\partial x_1^{m_1}\partial x_2^{m_2}...\partial x_n^{m_n}})=0
F(x,u,∂x1∂u,∂x2∂u,...,∂xn∂u,...,∂x1m1∂x2m2...∂xnmn∂mu)=0 其中，最高阶导数的阶数
m
=
m
1
+
m
1
+
.
.
.
+
m
n
m=m_1+m_1+...+m_n
m=m1+m1+...+mn为方程的阶。
线性偏微分方程：偏微分方程中与未知函数有关的部分是
u
u
u及
u
u
u的偏导数的线性组合（系数与
u
u
u或
u
u
u的偏导数无关）。
常系数线性微分方程：方程中u和u的偏导数的系数是常数
意义：偏微分方程反映了变量u及多个自变量
x
=
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
)
\bold x=(x_1,x_2,...,x_n)
x=(x1,x2,...,xn)间的相互制约关系。
波动方程 ：
∂
2
u
∂
t
2
=
a
2
Δ
u
+
f
(
t
,
x
→
)
,
a
=
T
ρ
,
f
(
t
,
x
→
)
=
g
(
t
,
x
→
)
ρ
\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=a^2\Delta u+f(t,\overrightarrow x),a=\sqrt{\frac{T}{\rho}},f(t,\overrightarrow x)=\frac{g(t,\overrightarrow x)}{\rho}
∂t2∂2u=a2Δu+f(t,x),a=ρT,f(t,x)=ρg(t,x)
扩散方程：
∂
u
∂
t
=
a
2
Δ
u
+
f
(
t
,
x
→
)
,
a
=
κ
c
ρ
,
f
(
t
,
x
→
)
=
g
(
t
,
x
→
)
c
ρ
\frac{\partial u}{\partial t}=a^2\Delta u+f(t,\overrightarrow x),\space a=\sqrt{\frac{\kappa}{c\rho}},f(t,\overrightarrow x)=\frac{g(t,\overrightarrow x)}{c\rho}
∂t∂u=a2Δu+f(t,x),a=cρκ,f(t,x)=cρg(t,x)
场位方程：
Δ
u
=
−
f
(
x
)
x
=
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
)
,
n
=
1
,
2
,
3
\Delta u=-f(x) \quad \bold x=(x_1,x_2,...,x_n),\quad n=1,2,3
Δu=−f(x)x=(x1,x2,...,xn),n=1,2,3
定解条件
初始条件（历史情况的影响）
边界条件（周围环境对边界的影响）
第I类边界条件（给顶端点值）：
u
∣
x
=
x
i
=
μ
i
(
t
)
u|_{x=x_i}=\mu_i(t)
u∣x=xi=μi(t)
第II类边界条件（给定端点梯度）：
∂
u
∂
n
∣
x
=
x
i
=
f
i
(
t
)
\frac{\partial u}{\partial n}|_{x=x_i}=f_i(t)
∂n∂u∣x=xi=fi(t)
第III类边界条件（混合I&II）：
[
a
i
u
+
β
i
∂
u
∂
n
]
x
=
x
i
=
F
i
(
t
)
[a_iu+\beta_i\frac{\partial u}{\partial n}]_{x=x_i}=F_i(t)
[aiu+βi∂n∂u]x=xi=Fi(t)
