数学是一门及其高深又变幻莫测的学科，且其根本就是问题的解决，因此是不可能也没有必要去寻找一种能够解决所有问题的通解的。坦白说，研究数学的最大乐趣就是在于发现从来没有人走过的新道路，即一种不同于常规的具有跳跃性，构造性的解法。换句话说，无论是数学家还是数学爱好者，都在寻找这样一种“妙解”。如勾股定理的某些证明方法即是其中之一。
归根结底，为了能够实现这种目的，我们就必须要了解如此奇妙的思维是如何激发、训练出来的。不过事实上，尽管这听起来十分困难，但多年的实践告诉我，答案出乎意料地简单——经验。在长期的解答训练中，我们都会慢慢培养一种能力，即直觉。通过这种直觉，有些看似复杂的问题似乎就会迎刃而解。这里举一个例子吧：
如图，在 △ A B C 中， D , E , F 三点平分周长，求证： D E + E F + F D ≥ 1 2 ( A B + B C + C A ) . \text{如图}\text{，在}\bigtriangleup ABC\text{中，}D,E,F\text{三点平分周长，求证：}DE+EF+FD\ge \frac{1}{2}\left( AB+BC+CA \right) . 如图，在△ABC中，D,E,F三点平分周长，求证：DE+EF+FD≥21(AB+BC+CA).
如果是第一次见到此类的几何不等式题目，便不禁觉得无从下手：光是这个奇怪的“三等分周长”条件就几乎没有用处。难道是要把整个三角形“展开”成一条直线再进行操作吗？很显然不是——就算用纯几何法展开了，也还是很难解决。
既然这样，那就把每条线段表示出来再用余弦定理暴力计算吧。别急，先分析一下情况：
很显然，我们想要的是一个较好看的对称式，而不是一个杂乱无章的代数式，因此自然会考虑设
A
E
=
x
,
B
F
=
y
,
C
D
=
z
.
AE=x,BF=y,CD=z.
AE=x,BF=y,CD=z. 对称是有了，但此时带来了一个新问题：我们这样设元并没有清楚地表示出周长，其他边也不知道是多少，因此不可避免地要设第四个变量。
这样的话，显然就已经超出了基本不等式能解决的范畴。
而这个时候，就要靠经验了：
如图所示，分别过
E
,
F
E,F
E,F作对边垂线交于
E
’
,
F
’
E’,F’
E’,F’，那么便有
E
F
≥
E
’
F
’
.
EF\ge E’F’.
EF≥E’F’.而注意到：
E
’
F
’
=
B
C
−
B
F
’
−
C
E
’
=
B
C
−
B
F
cos
B
−
C
E
cos
C
⇒
类推可得
D
E
+
E
F
+
F
D
≥
D
’
E
’
+
E
’
F
’
+
F
’
D
’
=
A
B
+
B
C
+
C
A
−
(
B
F
+
B
D
)
cos
B
−
(
C
D
+
C
E
)
cos
C
−
(
A
E
+
A
F
)
cos
A
=
A
B
+
B
C
+
C
A
−
1
3
(
A
B
+
B
C
+
C
A
)
⋅
(
cos
A
+
cos
B
+
cos
C
)
.
E’F’=BC-BF’-CE’=BC-BF\cos B-CE\cos\mathrm{C}\\\Rightarrow \text{类推可得}DE+EF+FD\ge D’E’+E’F’+F’D’\\\,\, =AB+BC+CA-\left( BF+BD \right) \cos B-\left( CD+CE \right) \cos C-\left( AE+AF \right) \cos A\\\,\, =AB+BC+CA-\frac{1}{3}\left( AB+BC+CA \right) \cdot \left( \cos A+\cos B+\cos C \right) .
E’F’=BC−BF’−CE’=BC−BFcosB−CEcosC⇒类推可得DE+EF+FD≥D’E’+E’F’+F’D’=AB+BC+CA−(BF+BD)cosB−(CD+CE)cosC−(AE+AF)cosA=AB+BC+CA−31(AB+BC+CA)⋅(cosA+cosB+cosC).
（自然还是要往给的边上的条件去靠近的）
而 cos A + cos B + cos C = 2 cos A + B 2 cos A − B 2 + 1 − 2 sin 2 C 2 ≤ 1 + 2 sin C 2 − 2 sin 2 C 2 = − 2 ( sin C 2 − 1 2 ) 2 + 3 2 ≤ 3 2 . ( 等号当且仅当 cos A = cos B = cos C = 1 2 , 即 A = B = C = 60 ° 时取得。 ) ■ \text{而}\cos A+\cos B+\cos C=2\cos \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}+1-2\sin ^2\frac{C}{2}\\\le 1+2\sin \frac{C}{2}-2\sin ^2\frac{C}{2}\\=-2\left( \sin \frac{C}{2}-\frac{1}{2} \right) ^2+\frac{3}{2}\le \frac{3}{2}.\\\left( \text{等号当且仅当}\cos A=\cos B=\cos C=\frac{1}{2},\text{即}A=B=C=60\degree\text{时取得。} \right) \blacksquare 而cosA+cosB+cosC=2cos2A+Bcos2A−B+1−2sin22C≤1+2sin2C−2sin22C=−2(sin2C−21)2+23≤23.(等号当且仅当cosA=cosB=cosC=21,即A=B=C=60°时取得。)■
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