动态规划系列之「最长递增子序列的个数」

673. 最长递增子序列的个数

给定一个未排序的整数数组，找到最长递增子序列的个数。

示例 1:

输入: [1,3,5,4,7]
输出: 2
解释: 有两个最长递增子序列，分别是 [1, 3, 4, 7] 和[1, 3, 5, 7]。

示例 2:

输入: [2,2,2,2,2]
输出: 5
解释: 最长递增子序列的长度是1，并且存在5个子序列的长度为1，因此输出5。

注意: 给定的数组长度不超过 2000 并且结果一定是32位有符号整数。

「最长递增子序列」那道题谁让求最长子序列的长度，这道题是求个数。

思路：

首先要定义 dp 数组的含义：

len[i] 表示以 nums[i] 这个数结尾的最长递增子序列的长度

cnt[i] 表示以 nums[i] 这个数结尾的，且最长递增子序列为len[i]的组合数

以nums[i]为结尾，那么肯定要找前面比nums[i]小的。

cnt[i] = 所有的前面比nums[i]小的，且等于len[i]-1的len[j]的个数

比如上面的例子：

求cnt[3]

• len[3]-1 等于 2

• 然后找索引3之前的比nums[3]=4小且dp[j]为2的nums[j]

• 最终找到一个，即len[1]=2

• 故cnt[3]=1

简而言之就是：cnt[i] 等于 len[j]的个数，只不过这个len[j]要满足三个条件：

1. i < j
2. nums[j] < nums[i]
3. len[j] == len[i] -1

最后返回的结果：

• 先求得len[]的最大值MAX
• 返回所有len[]中等于MAX的索引所对应的cnt的和

最终代码如下：

class Solution {
    public int findNumberOfLIS(int[] nums) {
        int LEN = nums.length;
        int[] len = new int[LEN];
        int[] cnt = new int[LEN];
        Arrays.fill(len, 1);
        Arrays.fill(cnt, 1);
    
        for(int i = 1; i < LEN; i++){
            for(int j = 0; j < i; j++){
                if(nums[j] < nums[i]){
                    if(len[j] > len[i] - 1){
                        len[i] = len[j] + 1;
                        cnt[i] = cnt[j];
                    }else if(len[j] == len[i] - 1){
                        cnt[i] += cnt[j];
                    }
                }
                
            }
        }
        // 只需遍历一遍就可找出dp数组中最大值的个数
        int MAX = 0; // 保存当前最大值
        int res = 0;  // 保存当前最大值的个数
        for(int i = 0; i < LEN; i++){
            MAX = Math.max(MAX, len[i]);
        }
        for(int i = 0; i < LEN; i++){
            if(len[i] == MAX){
                res += cnt[i];
            }
        }
        return res;
        
    }
}

时间复杂度：O(N^2)
空间复杂度：O(N)