误差函数
在数学中,误差函数(也称之为高斯误差函数)是一个特殊函数(即不是初等函数),其在概率论,统计学以及偏微分方程中都有广泛的应用。它的定义如下:erf ( x ) = 1 π ∫ − x x e − t 2 d t = 2 π ∫ 0 x e − t 2 d t . {\displaystyle \operatorname {erf} (x)={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{-x}^{x}e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t.}
互补误差函数
互补误差函数,记为 erfc,在误差函数的基础上定义:erfc ( x ) = 1 − erf ( x ) = 2 π ∫ x ∞ e − t 2 d t . {\displaystyle {\mbox{erfc}}(x)=1-{\mbox{erf}}(x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{x}^{\infty }e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t\,.}
虚误差函数,记为 erfi,定义为:erfi ( z ) = − i erf ( i z ) . {\displaystyle \operatorname {erfi} (z)=-i\,\,\operatorname {erf} (i\,z).}
复误差函数,记为w(z),也在误差函数的基础上定义:w ( z ) = e − z 2 erfc ( − i z ) . {\displaystyle w(z)=e^{-z^{2}}{\textrm {erfc}}(-iz).}
名称由来
误差函数来自测度论,后来与测量误差无关的其他领域也用到这一函数,但仍然使用误差函数这一名字。
误差函数与标准正态分布的积分累积分布函数Φ {\displaystyle \Phi }
的关系为[2]Φ ( x ) = 1 2 + 1 2 erf ( x 2 ) . {\displaystyle \Phi (x)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right).}
性质复平面上的图