自建号（2021年1月1日）以来，已经过去了相当长的时间。当初暗自定下的更新计划也一直未曾实施，除了工作忙的原因，最重要的原因可能就是懒了。从个人做出第一块PCB开始算起，我从事硬件及嵌入式研发已经10年有余，个人认为对相关技术也有一定理解。建号之目的，在于对所思所想的记录，更在于将自己对技术的理解与同道分享交流，以飨食客。技术文章的创作，不但要求严谨，还需要尽量做到通俗易懂，不可不谓难度稍大。个中不足，能被同道指点一二，乃吾之幸事；些许思考，倘若有幸对新入行的朋友有所提点，将倍感欣慰。各位看官的反馈将是我前进的最大动力。闲话少叙，咱们且入正题。
在中学时代，我们就接触了电子学中最简单，也是最基础的电学元件：电阻。根据材料的导电性不同，我们可以把材料分为超导体、导体、半导体、绝缘体，其分类的依据，就是不同材料的电阻率。除了难以获得的超导体，其他几种材料在实际中都有广泛的用途。电阻®在电学特性上表现为对通过电路中的电流的阻碍作用。并满足欧姆定律:
I = U R {I=\frac U R} I=RU
如果把研究的兴趣从直流电路扩展到交流电路，那么，会有另外两个特别重要的元件也出现在我们的视野里，电容和电感。 这两个元件的特性相对来讲就比电阻要更复杂，当然，也更有趣。那么如何表征电容和电感对电路中流过的电流的影响呢？ 我们用电抗(X)来表示。电容的电抗叫做容抗，表示为:
X C = 1 j ω C X_C = \frac 1 {j \omega C} XC=jωC1
类似的，电感的电抗叫做感抗，表示为：
X L = j ω L X_L = {j \omega L} XL=jωL
从如上两个公式可以得知，容抗和感抗是跟加在电容和电感上的信号的频率有关的。频率越高，容抗越小，而感抗越大。对于直流电路，电容的容抗为无穷大，相当于开路状态；而对于电感，其感抗为0，相当于短路状态。
在实际的电路中，通常电阻、电容和电感都是同时存在的，就像“桃园三结义”的三兄弟一样，难舍难分。当然也正是因为这“三兄弟”的同时出现，才导致了实际电路问题的复杂性。针对这种情况，又需要怎么表示呢？这里我们就需要引入阻抗(Z)的概念了。通常，阻抗(Z)表示了电路中电阻®、容抗和感抗(X)三者的共同作用。数学上可以表示为:
Z = V I = R + X = R + ( X C + X L ) Z = \frac V I = R + X = R + (X_C + X_L) Z=IV=R+X=R+(XC+XL)
我们注意看上式，第一个等号是阻抗的定义式，等式说明在存在电抗的电路中，依然满足基本的欧姆定律，只要将电阻和电抗的作用一起考虑进来即可，对于施加某一电压的电路，阻抗越高，流经电路的电流越小。同时也需要理解，阻抗的定义，适用于所有场合，无论在时域还是频域，也不管是测量的实际元件，还是计算使用的理想元件。阻抗对我们理解以后的问题非常重要，必须深刻理解并掌握。通常最容易出现混淆的一点是认为阻抗就是电阻，其实通过上式可知，只有阻值为R的理想电阻的阻抗才满足Z=R。
依据电路的工作频率，通常我们会将电路分为集总参数电路和分布参数电路。集总参数电路是指电路的元件就是一个个的实体元件，除此之外，再无额外的器件，比如电路中的一个1KOhm电阻，就是指此电路中的某个电阻器的值为1KOhm的。在高频情况下，在我们关注的几何尺度上，电路中电压和电流的分布不再与空间位置无关，此时适用于集总参数的电路理论将不能适用于较长的导线上。此时，参考数学上极限的思路，我们可以把长导线分割成较短的导线段，这些线段足够小，以满足集总参数的分析要求，这些线段包含了传输线的损耗、电感、电容等所有电气参数，从而又可以采用经典的集总参数模型来分析电路了。这种手段所分析的电路参数，除了实体的电阻、电容和电感，还存在额外的，看不见的元件，就像是分布于电路所在的整个空间里一个个“隐形的元件”，于是形象的称呼为分布参数电路。注意，这种手段分析电路时所采用的参数，包括R、L、C、G，都是单位长度的值，也就是下图示意的
Δ
Z
\varDelta Z
ΔZ部分的值。模型可以用下图所示的方式表示：
特性阻抗 Z 0 Z_0 Z0（characteristic impedance）用来表征这些看不见的元件对电路的作用。由于传输线上电压电流的的空间分布特性，我们可以从电压波和电流波的角度去理解传输线的行为。电压和电流通常通过阻抗联系起来，根据传输线理论及其等效电路模型，结合电路的基尔霍夫电压、电流定律，可以推导出传输线的特性阻抗的表达式：
Z 0 = V + I + = − V − I − = R + j ω L G + j ω C Z_0 = \frac {V^+} {I^+} = - \frac {V^-} {I^-} = \sqrt{ \frac{R + j \omega L} {G + j \omega C} } Z0=I+V+=−I−V−=G+jωCR+jωL
通过上式需要认识到， Z 0 Z_0 Z0不是前文所描述的常规意义上的阻抗，它的定义，是基于正向和反向行进的电压波和电流波的，或者可以说，特性阻抗就是信号在传输线上行进到某一处感受到的瞬时阻抗。这种定义和基于总电压和总电流概念所定义的常规电路的阻抗完全不同，注意与集总参数电路中概念的区分。
一般情况下，上式定义的阻抗是一个复数量，并且考虑可传输线的损耗，因为实际情况下传输线总是有损的。然而，对于较短的传输线，这时可以忽略传输线的损耗，也即意味着上式中R=0，G=0，此时特性阻抗的表达式就可以简化为：
Z 0 = L C Z_0 = \sqrt{ \frac L C } Z0=CL
通过这里可以看出，电压波和电流波的比值（即特性阻抗）是一个常数，此常数与传输线的工作频率无关，而只取决于传输线本身单位长度的分布电容和分布电感，也即只取决于传输线本身的结构。
信号在传输线上传播，也具有一定的时延，对于无损传输线，时延可以通过下面的公式来表示：
T D = C t o t a l L t o t a l = L e n × C L e n L L e n = L e n v T_D = \sqrt{ C_{total} L_{total} } = Len \times \sqrt{ C_{Len} L_{Len} } = \frac {Len} v TD=CtotalLtotal =Len×CLenLLen =vLen
C L e n C_{Len} CLen和 L L e n L_{Len} LLen 分别代表单位长度的电容和回路电感。公式中 υ \upsilon υ是信号在传输线中的相速度，可见相速度是传输线的特征参数的函数，而与信号的频率无关，也就是说信号中任意频率分量的信号具有相同的相速度，我们把这个特性叫做无色散。然而实际情况一般都需要考虑介质带来的频率相关性，也就是色散特性，色散会导致信号的畸变。
我们再来深入分析一下信号的相速度 υ \upsilon υ。实际上，根据电磁波理论，电场和磁场的建立速度的快慢，决定了信号的传播速度，而变化的电磁场的建立速度，取决于一些常数和材料本身的特性，这个关系可以采用下式来表示：
υ = 1 ε 0 ε r μ 0 μ r \upsilon = \frac 1 {\sqrt{\varepsilon_0 \varepsilon_r \mu_0 \mu_r} } υ=ε0εrμ0μr 1
其中， ε 0 = 8.854 ∗ 1 0 − 12 F / m \varepsilon_0 = 8.854*10^{-12} F/m ε0=8.854∗10−12F/m，是真空中的介电常数，$\mu_0 = 4\pi*10^{-7} H/m ， 是 真 空 中 的 磁 导 率 ， ，是真空中的磁导率， ，是真空中的磁导率，\varepsilon_r 和 和 和\mu_r$分别是材料的相对介电常数和相对磁导率。带入常数，可以求得
υ = 2.99 ∗ 1 0 8 ε r μ r m / s = 11.9 ε r μ r i n / n s \upsilon = \frac {2.99*10^8} {\sqrt{\varepsilon_r \mu_r} } m/s = \frac {11.9} {\sqrt{\varepsilon_r \mu_r} } in/ns υ=εrμr 2.99∗108m/s=εrμr 11.9in/ns
在常用的电学材料中，除了铁磁性材料，几乎所有的材料的相对磁导率 μ r \mu_r μr都大约为1，上式还可以进一步简化为$ \upsilon = \frac {11.9} {\sqrt \varepsilon_r} in/ns $。这是非常有用的一个公式，比如通常FR4材料的相对介电常数为4，那么也就是说信号在FR4板材上的传播速度为6in/ns，或者说每英寸传输线上，信号的传播延迟为166ps。记住这个数字，你会经常用到。
讲完电阻、阻抗、以及特性阻抗的概念，那么对PCB上的传输线的特性阻抗的理解就相对容易得多了。PCB是电子产品中电子元件的载体，也是最重要的电路互联形式。高速信号通过PCB上的传输线进行互联时，会是什么情况呢？很显然，上面讲到的特性阻抗概念里的公式，依然是适用的，也就是说，PCB的特性阻抗决定了高速信号在PCB上传输时的表现。那么怎么计算PCB上的传输线的特性阻抗呢？一般说来有如下三种手段：
不过遗憾的是，只有同轴线，双圆杆传输线，圆杆-平面型传输线具有确切的求解公式，其他类型的传输线都很难通过确切的解析解来求得。对于常用的微带线和带状线，IPC具有推荐的近似求解公式。
对于微带线的特性阻抗公式为：
Z 0 = 87 Ω 1.41 + ε r l n 5.98 h 0.8 w + t Z_0 = \frac {87\Omega} {\sqrt {1.41 + \varepsilon_r} } ln{\frac {5.98h} {0.8w + t}} Z0=1.41+εr 87Ωln0.8w+t5.98h
对于带状线的特性阻抗公式为：
Z 0 = 60 Ω ε r l n 2 b + t 0.8 w + t Z_0 = \frac {60\Omega} {\sqrt {\varepsilon_r} } ln{\frac {2b+t} {0.8w + t}} Z0=εr 60Ωln0.8w+t2b+t
其中， Z 0 Z_0 Z0为传输线的特性阻抗( Ω \Omega Ω)，h为传输线与参考平面间的介质厚度(mil)，w为传输线的线宽(mil)，b表示两参考平面间的距离(mil)，t表示传输线金属层的厚度(mil)， ε r \varepsilon_r εr为介质的介电常数。
上面的公式，纵然可以比较精确的近似估算PCB的走线阻抗，但是计算还是略显复杂，理解公式的意义，可以有助于我们更清楚的知道哪些因素会影响PCB特性阻抗，一般来讲可能这个意义更大于实际计算的意义。目前有众多的EDA软件都具备了阻抗计算的能力，三大PCB EDA工具自不用说，都具备这个能力。但是要说对各种类型传输线计算支持最全面，易用性最好，计算结果最准确的，莫过于英国Polar公司的Polar Si9000场求解器软件。打开软件后的默认界面如下图所示：
通过软件菜单栏下面的按钮和左侧窗口示意图区域的图标，可以选择不同类型的传输线模型，窗口的中上部区域，用于输入对应模型的参数，相关参数的示意也已经标注在参考模型的示意图上。填入对应参数，通过点击红圈按钮内的calculate按钮，就可以计算出相应的阻抗数据。通过点击more按钮，还可以查看传输线单位长度的时延、电容量、电感量参数。此外还包括了传输线的频域分布参数计算，灵敏度分析等众多功能。怎么样，是不是很溜，相信有了这个工具，传输线阻抗计算再也不是难事了。
PCB板厂一般在制作需要做阻抗控制的PCB时，都会先使用软件来计算设计参数，然后根据设计参数来加工样品，由于工艺误差和材料的参数的分布特性，通常计算得到的数值会比较理想，板厂会在实际生产前通过打样PCB阻抗条的方式做验证，通过实际测量，来确定设计参数是否需要调整。
由于篇幅所限，本文将分上下两篇推送，此为上篇。关于传输线的阻抗的内容就先写到这里，有关阻抗和信号反射的关系的部分将在后续文章中继续阐述。下篇主要内容包括：
敬请期待！
参考文献：射频电路设计——理论与应用（第二版）
