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人工智能数学基础---定积分9：无界函数反常积分审敛法以及无界函数Γ函数介绍

2023-10-28

一、引言

在《人工智能数学基础—定积分7：无界函数的反常积分计算》介绍了无界函数的反常积分概念、计算方法以及收敛性的判断方法，通过求被积函数的原函数，然后按定义取极限，根据极限的存在与否来判定是否收敛。除了这种方式判断无界函数的反常积分是否收敛外，还有一种反常积分收敛性的判断方法。这就是本节要介绍的无界函数的反常积分审敛法。

注：所谓审敛法就是判断函数或级数是否收敛的方法。

二、无界函数反常积分审敛法

2.1、比较审敛法2

由《人工智能数学基础—定积分7：无界函数的反常积分计算》案例2可知，无界函数反常积分：
在这里插入图片描述
当q<1时收敛，当q≥1时发散。与《人工智能数学基础—定积分8：无穷限反常积分审敛法》介绍的比较审敛法1类似，可以得到无界函数反常积分的比较审敛法2。

定理：设函数f(x)在区间(a，b]上连续，且f(x)≥0，x=a为f(x)的瑕点。如果存在常数M>0及q<1，使得：
在这里插入图片描述
那么f(x)在区间(a，b]上对应的反常积分收敛；如果存在常数N>0，使得：
在这里插入图片描述

那么f(x)在区间(a，b]上对应的反常积分发散。

注意：针对第一个结论，这里的q的取值与比较审敛法1中p的取值对应的收敛情况恰好相反，老猿仔细思考发现，其实本质上二者对应的积分函数的原函数类似，如设t=x-a，则本定理中f(t)就类似比较审敛法1中的f(x)，但二者的区间不同，在比较审敛法中x的区间为[a，+∞)，而本定理中t的范围为（0，b-a]，设M=N=1，在q≠1的情况下二者对应的被积函数本质上都是f(x)=1/xp：

  1. f(x)的原函数=∫(1/xp)dx=∫x-pdx =（ x-p+1）/(-p+1)+C=(x1-p）/(1-p)+C，假设C=0，则∫(1/xp)dx= (x1-p）/(1-p)
  2. 比较审敛法1中的f(x)的反常积分为区间为[a，+∞)，当p＞1时，根据原函数容易证明该反常积分收敛，p≤1时发散；
  3. 比较审敛法2中的f(t)的反常积分为区间为(0，b-a]，当p<1时，根据原函数容易证明该反常积分收敛，当p≥1时发散。

因此两个比较审敛法因为积分区间不同导致p的取值对反常积分的收敛性产生了完全不同的影响。

2.2、极限审敛法2

定理4：设函数f(x)在区间(a，b]上连续，且f(x)≥0，x=a为f(x)的瑕点。如果存在常数0<q<1，使得：
在这里插入图片描述
存在，那么反常积分：
在这里插入图片描述
收敛，如果：
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那么该反常积分发散。

应用案例：

在这里插入图片描述

三、Γ函数

3.1、Γ函数定义

在这里插入图片描述

注：Γ为希腊字母γ的大写，读gamma（伽玛）。

3.2、Γ函数收敛性判断

Γ函数右端积分中，当s<1时x=0是被积函数的瑕点，因此可以将该积分表示为如下两个积分的和：
在这里插入图片描述
对I1，当s≥1时，I1是定积分，当s<1时，因为：
在这里插入图片描述
根据比较审敛法2可以证明反常积分I1收敛。

再讨论I2，因为：
在这里插入图片描述
根据极限审敛法1可得到I2也收敛。

因此在s＞0时，Γ函数收敛。

3.3、Γ函数的熟悉

3.3.1、Γ函数的图形

在这里插入图片描述

3.3.2、Γ函数递推公式

Γ函数递推公式：Γ（s+1） = s Γ(s) (s>0)

证：应用分部积分法：
在这里插入图片描述
一般地对于任何正整数n，有：Γ(n+1) = n!，因此可以把Γ函数看成是阶乘的推广。

3.3.3、当s->0+时，Γ(s)->+∞

证明：
因为Γ(s) = Γ(s+1)/s，因为Γ函数在s>0时连续，因此当s->0+时，lim Γ(s+1) = lim Γ(1)，而Γ(1)=1，所以当s->0+时，Γ(s)->+∞。

3.3.4、余元公式

公式：Γ(s)Γ(1-s) = π/sin πs（0<s<1）

这个公式的证明比较复杂，书上也没介绍，在此也不进行介绍，感兴趣的自己在网上查询。

当s=1/2时，由余元公式可得：
在这里插入图片描述

3.3.5、Γ函数应用

在这里插入图片描述

四、小结

本文介绍了无界函数反常积分的比较审敛法和极限审敛法，以及特殊的无界函数Γ函数，以及Γ函数的一些特殊属性。

注：这里比较审敛法2、极限审敛法2都带有2，是因为这两个方法对无穷限函数也有类似规则。

ps：本节为定积分的最后一节，后面还有定积分的应用和微分方程两章，暂时停一下，以后再学习。后面准备恢复数字图像处理的学习。

说明：

本文内容是老猿学习同济版高数的总结，有需要原教材电子版以及OpenCV、Python基础知识、、图像处理原理介绍相关电子资料，或对文章内有有疑问咨询的，请扫博客首页左边二维码加微信公号，根据加微信公号后的自动回复操作。

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