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垂直与平行的画法
现在中考对作图要求越来越高，作图是对我们应用数学基本定理、性质以及动手能力的一种考察，问题的关键在于学生平时忽视了定理、性质的重要性，甚至初三念完了书还是新的！通过作图，对定理和性质进行理解记忆。
问题1
已知：如图，直线l以及直线外一点A，
求作：过点A的直线AB，使得AB∥l。
(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
请尝试用多种方法来实现，写一写这些方法的作图依据
方法一：
作法：
1、以A为一点作一条直线交l于B点；
2、以B为圆心，小于线段AB的长为半径，画弧交线段AB于C，交l于D；以A为圆心，相同长为半径画两段弧交直线AB于E，另一段弧在右侧平行线附近；
3、以E为圆心，以CD长为半径交另一段弧于F点；
4、连结直线AF，直线AF即为所求。
作图依据：
(1)三边相等的两个三角形全等，全等三角形对应角相等；
(2)同位角相等两直线平行。
方法二：
作法：
1、以A为一点作一条直线交l于B点；
2、以B为圆心，小于线段AB的长为半径，画弧交线段AB于D，交l于C；以A为圆心，相同长为半径画两段弧交直线AB于E，另一段弧在左侧平行线附近；
3、以E为圆心，以CD长为半径交另一段弧于P点；
4、连结直线AP，直线AP即为所求。
作图依据：
(1)三边相等的两个三角形全等，全等三角形对应角相等；
(2)内错角相等两直线平行。
方法三：
作法：
1、在l上任取一点B，以B为圆心BA长为半径画弧，交l于C点；
2、分别以A、C为圆心，BA长为半径画弧，交于点D；
3、连结直线AD，直线AD即为所求。
作图依据：
1、四边相等的四边形是菱形；
2、菱形的对边平行。
方法四：
作法：
1、在直线l上任取一点B，以A为圆心AB长为半径画弧，交直线AB于点C；
２、在直线l上再任取一点D(与B点不重合)，连结线段CD；
3、分别以C、D为圆心，大于线段CD的一半长为半径在直线CD左右分别画弧交于E、F两点，连结EF交CD于G点；
4、连结直线AG，AG即为所求；。
作图依据：
(1)到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；
(2)中位线平行于第三边。
方法五：
作法：
1、以A为圆心，大于A到直线l的距离为半径画弧，交直线l于B、C两点，分别以B、C为圆心，以相同长为半径画弧，交于点D；
2、在直线l上任取一点E，连结DE并延长，以E为圆心，DE长为半径画弧交DE延长线于F；
3、连结直线AF，AF即为所求。
作图依据：
(1)到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；
(2)三边相等的三角形全等，全等三角形对应高相等；
(3)中位线平行于第三边。
方法六：
作法：
1、在l上任取一点B，作射线BA，以B为圆心，任意长为半径画弧交AB于点C，交l于点D；
2、分别以C、D为圆心，以相同长为半径画弧，交于点E；
3、连结射线BE，以A为圆心，线段AB为半径画弧交射线BE于F；
４、连线路直线AF，直线AF即为所求。
作图依据：
(1)三边相等的三角形全等，全等三角形对应角相等；
(2)等边对等角；
(3)内错角相等，两直线平行。
方法七：
作法：
1、以A为圆心，以大于A到直线l的距离为半径画弧，交直线l于B、C两点；
2、连结线段AC，作射线BA，以A为圆心，以小于线段AC长为半径画弧，交射线BA于点E，交线段AC于点D；
3、分别以D、E为圆心，相同长为半径画弧将于点F；
4、连结直线AF，直线AF即为所求。
作图依据：
(1)等边对等角；
(2)三边相等的三角形全等，全等三角形对应角相等；
(3)内错角相等，两直线平行。
方法八：
作法：
1、在A点右侧任取一点B，以B为圆心AB长为半径画半圆交直线l于C、D两点；
2、以D为圆心AC长为半径画弧交半圆于点E；
3、连结直线AE，直线AE即为所求。
作图依据：
(1)等弧所对圆心角相等；
(2)两边及夹角相等的三角形全等，全等三角形对应角相等；
(3)圆内接四边形对角互补；
(4)同旁内角互补，两直线平行。
方法九：
作法：
1、以A为圆心，大于A到直线l的距离长为半径画弧交直线l于B、C两点；
2、在ΔABC右侧的直线l上任取一点D，以D为圆线段BC长为半径画弧，交D点右侧于E；
3、分别以D、E为圆心，线段AB长为半径向上画弧将于点F；
4、连结直线AF，直线AF即为所求。
作图依据：
(1)三边相等的三角形全等，全等三角形对应边上的高相等；
(2)直线同侧到直线距离相等的点在直线的平行线上。
问题2
已知：如图，直线l以及直线外一点A，
求作：过点A的直线AB，使得AB⊥l。
(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
请尝试用多种方法来实现，写一写这些方法的作图依据
方法一：
作法:
1、以A为圆心，大于A到直线l的距离长为半径画弧交直线l于B、C两点；
2、分别以B、C为圆心，相同长为半径向上画弧将于点D；
3、连结直线AD，直线AD即为所求。
作图依据：
(1)到线段两端点距离相等在垂直平分线上；
(2)两点确定一条直线。
方法二：
作法：
1、在直线l上任取一点F，连结AF，分别以A、F为圆心，大于线段AF长的一半为半径画弧交直线l于B、C两点；
2、直线BC交AF于于D，以D圆心，线段AD长为半径画圆交直线l于点E；
３、连结直线AE，直线AE即为所求。
作图依据：
(1)到线段两端点距离相等在垂直平分线上；
(2)直径所对圆周角为直角。
方法三：
作法：
1、以A为圆心，大于A到直线l的距离长为半径画弧交直线l于B、C两点；
2、以A为圆心，小于线段AB的长为半径画弧，分别交线段AB、AC于点D、E两点；
3、分别以D、E为圆心，相同长为半径向上画弧将于点于；
4、连结直线AF，直线AF即为所求。
作图依据：
(1)三边相等的三角形全等，全等三角形对应角相等；
(2)等腰三角形的三线合一。
通过作图理解图形产生的过程，理解条件之间的关联关系，更有利于我们对作辅助线。
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