概率论知识点--上半学期

第一章：概率论的基本概念

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这里大部分是初中学的，引入了很少的几个概念：

1. P（ A ‾ \overline{A} A）= 1-P(A)
   意思就是一件事的逆，一定等于一减这件事。

2. P(A-B)=P(A B ‾ \overline{B} B)=P(A)-P(AB)
   意思就是一件事减去另一件事，就像等于当这件事发生另一件事不发生。还有就是P(A)=P(AB)+P(A B ‾ \overline{B} B)，最后一项由此得来。

3. P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
   意思就是P(A+B)=P(A B ‾ \overline{B} B)+P(AB)+P( A ‾ \overline{A} AB)
   P(A)+P(B)=P(A B ‾ \overline{B} B)+2*P(AB)+P( A ‾ \overline{A} AB)
   原式由此得来

4. 条件概率: P(B|A)=P(AB)/P(A)
   意思就是：等号左边的意思是当A发生时B发生的概率
   等号右边的意思可以理解：为P(AB)同时发生的概率剔除掉A发生的概率（蒟蒻我自己的理解）

经典例题：

非常简单套个公式就行了：P=( C 4 2 C_{4}^{2} C42​)*( C 3 2 C_{3}^{2} C32​)/( C 7 4 C_{7}^{4} C74​)= 18 35 \frac{18}{35} 3518​

这种题自己捣鼓容易翻车直接套公式就行了先把p算出来。

所有排列状况= 所 有 情 况 出 现 次 数 ! 事 件 1 出 现 的 次 数 ! ∗ 事 件 2 出 现 的 次 数 ! … … \frac{所有情况出现次数!}{事件1出现的次数!*事件2出现的次数!……} 事件1出现的次数!∗事件2出现的次数!……所有情况出现次数!​
P=(所有排列状况) * 事件1概率^{事件1出现次数} *事件2概率^{事件2出现次数}……
答案自己算吧主要是我懒

这题非常简单，没什么好说的，画个图搞定
答案是 1 2 \frac{1}{2} 21​

4.条件概率

这种题直接套公式4：
我们可以观察到P（AB）=P（B）
转化一下公式就可以得到答案，没什么好说的
P（B|A）= 0.8 0.85 \frac{0.8}{0.85} 0.850.8​= 16 17 \frac{16}{17} 1716​

这种题直接套全概率公式，没什么好说的
P=0.2 * 0.002+0.8 * 0.01=0.0084

和全概率事件的思路一模一样，直接套公式。就不讲了~ 。~
P= 0.2 ∗ 0.002 上 面 刚 求 过 的 全 概 率 \frac{0.2*0.002}{上面刚求过的全概率} 上面刚求过的全概率0.2∗0.002​= 1 21 \frac{1}{21} 211​

第二章：随机变量及其分布

1. F(x)和f(x)之间的转换
f(x)=F’(x)
F(x)= ∫ − ∞ x f ( x ) d x \int_{-\infty}^{x}f(x)dx ∫−∞x​f(x)dx
例题：

直接求导，然后合并相同区间即可。

直接积分，就可以了，注意：（其他）区间需要展开算

2.已知F(x)或f(x)求概率
P(a<x<b) = F(b)-F(a)= ∫ a b f ( x ) d x \int_{a}^{b}f(x)dx ∫ab​f(x)dx
注意：P(a<x<b)与P(a<=x<=b) P(a<=x<b) P(a<x<=b) 相同
求法一样

3.Fx（x）和fx(x)中含有未知数：
四个公式：

1. Fx(+ ∞ \infty ∞)=1
2. Fx(- ∞ \infty ∞)=0
3. F的分段点相同
4. ∫ − ∞ + ∞ f ( x ) d x \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx ∫−∞+∞​f(x)dx=1

这四个公式是分布函数与密度函数的性质，除了解决未知数的题目，也可以用这几个公式来检验你之前的计算是否正确。

4.求分布律

先把所有X可能的取值列出来后，然后把概率算出来之后画一个表格就行了，想知道怎么求概率请移步至第一章。

5.已知分布列求分布律
大家知道所有概率之和为1即可

1.已知X的分布列求Y的分布列

直接把Y带进去求值，然后合并相同区间，即可。

2.已知Fx（x）求Fy（x）

一样是直接带进去，就可以了，把所有X替换为Y求出Fx(?y)
注意这里：如果？是负号咱们要做个变化。
给出猴博士写的~ 。~

3.已知fx(x)求fy(y)
和上面的题目几乎一模一样大家可以找到书上的题目练一练。唯一的区别就是fy(y)=(？y)'fx(?y).
在带入之后要乘以y的求导比如说x=y/2 导数=1/2
还有区别就是如果有负号我们需要再乘以一个负号毕竟密度函数不可能出现负值。

1.均匀分布（连续型）//连续型和离散型的区别就是离散型[2,5] 和(2,5)有区别
连续型没有区别.

均匀分布就是画图求概率，真的没什么好说的，如果你不画图导致翻车，那也怨不得谁。
2.泊松分布(离散型)

泊松分布套个公式就解决了，但一定要注意泊松分布时离散型分布如果让你求x>4
的泊松分布时一定要查x>=3的表，一位他是离散型的。

3.二项分布（离散型）

二项分布再简单不过了，写不出来的话建议回炉重造，没什么好说的。

4.指数分布（连续型）

注意：指数分布我们一般背密度函数f(x) ， 然后用之前介绍的方法根据f求p,主要是直接背P不太好背，也没有什么难度，背公式！！！

5.正态分布（连续型）

关于标准正态分布函数有以下几点性质：
图像看书主要是我不会画图
图像关于Y轴对称即 ∅ \varnothing ∅(-x)=1- ∅ \varnothing ∅(x)
还有就是当X>4时我们认为概率为1
当X<-4时我们认为概率为0

还有就是要会查表找概率，不会查表等于白给。

求普通正态函数时我们可以转化为正态函数做具体方法就是：

大家记住正态函数我推荐大家背P（x）的函数，不要背f(x)，f(x)比较恶心，剩下的就是带数值求值了。
标准正态分布其实就是N（0，1）