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13、光场、颜色与感知
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图形学中的矩阵乘以向量通常被称为线性变换，因为这个操作满足线性变换的数学定义和性质。线性变换是指一种将一个向量空间中的向量映射到另一个向量空间中的映射，它同时满足以下两个性质：
u 和 v，线性变换T(u + v) = T(u) + T(v)。这表示变换对向量的加法操作保持了线性性质。c和向量u，线性变换T(cu) = c·T(u)。这表示变换对向量的数乘操作同样保持了线性性质。这种线性变换的性质在图形学和计算机图形学中非常有用，因为它们允许我们进行各种形状的变换，如平移、旋转、缩放等，并且可以通过矩阵乘法来高效地实现这些变换。
线性变换为：矩阵×向量
水平剪切是将对象或图形沿着水平方向上的平行线进行平移，从而改变对象的形状。水平剪切通常用于在二维平面上调整对象的形状，例如文本倾斜的效果。
假设我要做如下倾斜效果，请推导出变换矩阵
x' = x + ay，y' = y
平移变换：非线性变换，因不满足线性变换中的：叠加性（T(u + v) = T(u) + T(v)）。因此，虽然平移是一种非常常见的空间变换，但它通常被视为一种仿射变换而不是线性变换。平移变换的结构如下：
仿射变换是由上面介绍的线性变换以及平移变换组成的，它是一种更广泛的变换类别。因此图形学中用仿射变换来描述各种平移、旋转、缩放等操作。
为了统一仿射变换的表示方式（平移变换有个+常矩阵），须借助齐次坐标系统。它一种扩展了传统笛卡尔坐标系统的数学表示方法，它在表示几何变换时具有一些优势。
在齐次坐标系统中，一个2D点的坐标通常表示为三维向量(x, y, w)，其中x和y是点在笛卡尔坐标系统中的坐标，而w是一个额外的权重因子。齐次坐标中的点(x, y, w)可以通过除以w来得到它在标准笛卡尔坐标中的坐标(x/w, y/w)。这种表示方式允许我们用同一种结构形式表示点和向量，并且可以更方便地进行仿射变换。
点：w = 1
向量：w = 0
在2D齐次坐标系下，仿射变换被统一为矩阵 × 向量
跟2D同理，齐次坐标下都会增加一维
如果绕任意轴旋转怎么描述？先平移到原点，绕过原点轴旋转、平移回去即可
前面的变换都是欧拉角变换，来模拟旋转运动，但是欧拉角变换并不是运动，而是初始姿态到目标姿态的一个一步到位的变化。四元数的引入是为了更贴切地描述三维空间的旋转
为什么一般不用欧拉角变换来描述旋转运动？
仅仅是使用四元数来做旋转的话看这个
Model Transformation）局部空间：就是以其自身的中心点或者某个端点为原点所的一个局部坐标系
模型变换：使用若干仿射矩阵变换操作，把物体从的局部空间转换到世界空间的过程。这些缩放、旋转、平移都是合并成一个矩阵传给GPU给每个顶点应用的。比如在引擎中导入一个模型，放入场景中，定义他的Transform.position、Transform.rotation、Transform.scale 等同于定义了三个变换矩阵。模型变换就是在世界中摆放模型
View Transformation）也叫做Camera Transform，比较形象，因为这个变换矩阵的所有参数是根据相机参数计算得到的。
如何在3D空间中描述一个摄像机？
需要位置向量 e、向上的方向向量 t、向前的方向向量 g
视图变换过程：
V矩阵），使得该矩阵能够把世界空间中摆放的相机移动到原点，且向上的 t 向量旋转到与 Y 轴重合，g 看向 -Z 轴，右向量与x轴正向重合View矩阵计算
两个矩阵：平移 x 旋转，此M不是MVP的M，只是视图矩阵的符号
t 向量旋转到与 Y 轴正方向重合，g 看向 -Z 轴，
图形学中的做法
透视投影最典型的特点：近大远小，这就是正常人类的视角或者摄像机的视角
相当重要的回顾：在齐次坐标下的点(kx,ky,kz,k)在笛卡尔坐标系中的坐标为(x,y,z)
怎么做透视投影 —— 仅两步：先挤压(Squish)，再正交投影。注意这个过程，视锥体中越远的部分被压缩的比例越大，因此这一步其实是近大远小的关键
想象把视椎体(Frustum)压成一个方正的盒子(Cuboid)，怎么压，矩阵怎么搞？
规定：(1)近平面的点永远不变 (2)远处平面的Z轴不变 (3)远平面中心点不变
注意不是远平面上的点。
(x',y',z')上。
根据相似三角形的性质可得以下方程，这里z、x、n、y都是已知量
注意目前并不知道z是如何变化的
M
p
e
r
s
p
→
o
r
t
h
o
4
×
4
⋅
(
x
y
z
1
)
=
(
n
z
x
n
z
y
?
1
)
…
…
…
…
①
M_{persp\to ortho}^{4\times4}·\Large\begin{pmatrix} x\\y\\z\\1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \frac{n}{z}x\\\frac{n}{z}y\\?\\1 \end{pmatrix} \dots\dots\dots\dots①
Mpersp→ortho4×4⋅
xyz1
=
znxzny?1
…………①
这个点在齐次坐标下，所有分量同时×Z，在笛卡尔坐标系下仍然表示同一个点
(
n
z
x
n
z
y
?
1
)
=
(
n
x
n
y
?
z
)
\Large\begin{pmatrix}\frac{n}{z}x\\\frac{n}{z}y\\?\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}nx\\ny\\?\\z\end{pmatrix}
znxzny?1
=
nxny?z
因此公式①可以改写为
然后就可以得到矩阵的这些数据了：
还有一行的数怎么得到？还有两个规则没用
最后，Squish矩阵 Mpersp->ortho矩阵为
[
n
0
0
0
0
n
0
0
0
0
n
+
f
−
f
n
0
0
1
0
]
\large \begin{bmatrix} n&0&0&0 \\ 0 & n&0&0 \\ 0&0&n+f&-fn\\ 0&0&1&0 \end{bmatrix} \quad
n0000n0000n+f100−fn0
透视投影第二步是正交投影，所以需要正交矩阵Mortho(由平移加缩放矩阵组成)
[
2
r
−
l
0
0
0
0
2
t
−
b
0
0
0
0
2
n
−
f
0
0
0
0
1
]
[
1
0
0
−
r
+
l
2
0
1
0
−
t
+
b
2
0
0
1
−
n
+
f
2
0
0
0
1
]
\large \begin{bmatrix} \frac{2}{r-l}&0&0&0 \\ 0 & \frac{2}{t-b}&0&0 \\ 0&0&\frac{2}{n-f}&0\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix} \large \begin{bmatrix} 1&0&0&-\frac{r+l}{2} \\ 0 &1&0&-\frac{t+b}{2} \\ 0&0&1&-\frac{n+f}{2}\\ 0&0&0&1 \end{bmatrix}
r−l20000t−b20000n−f200001
100001000010−2r+l−2t+b−2n+f1
最终Mpersp 为上面三个矩阵的乘积
M
p
e
r
s
p
=
M
o
r
t
h
o
⋅
M
p
e
r
s
p
→
o
r
t
h
o
=
[
2
n
r
−
l
0
l
+
r
l
−
r
0
0
2
n
t
−
b
b
+
t
b
−
t
0
0
0
n
+
f
n
−
f
−
2
n
f
n
−
f
0
0
1
0
]
M_{persp} = M_{ortho}·M_{persp\to ortho}=\Large\color{red} \begin{bmatrix} \frac{2n}{r-l}&0&\frac{l+r}{l-r}&0 \\ 0 & \frac{2n}{t-b}&\frac{b+t}{b-t}&0 \\ 0&0&\frac{n+f}{n-f}&\frac{-2nf}{n-f}\\ 0&0&1&0 \end{bmatrix} \quad
Mpersp=Mortho⋅Mpersp→ortho=
r−l2n0000t−b2n00l−rl+rb−tb+tn−fn+f100n−f−2nf0
叠加正交投影得到透视投影矩阵，Mortho是前面正交投影矩阵算出来的，先位移后缩放那个，所以这Mpersp是三个矩阵叠加
由于透视投影的第二步实际上是正交投影，所以最终也会到[-1,1]3的正则立方体中
所有这些仿射变换一般来说是在GPU端顶点着色器内对场景的每个顶点应用的。