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概率论知识环状及桌形排列问题

2023-05-16

关于峁诗松《概率论与数理统计》第1.2第14题，看了答案也觉得不是很懂，于是查了大量的参考资料，才发现原来环状排列问题，是一类很特殊的排列的问题，有自身的规律，自己解题思路如下：

问题：n个人随机的围一圆桌而坐，甲乙相邻的概率？
甲乙看成一个整体的话有(n-1)!这里不要理解成只少了一个人，其实是将甲乙看成是一个人，所以这里充当的是分母，剩下的应该根据乘法原理得2*（n-2)!,得到2/（n-1）

其实，自己得到这样的思路也是查了些资料的，但细想还是不太明白为什么分母为(n-1)!?????这其实是由环形排列规律所决定的。

参考资料如下：

有n个人围坐一圈，问，有多少种不同的坐法？

答：显然排成一列有A(n,n)种，那么收尾相接，就会出现n种重复状态（转一圈）。乘法原理逆用，除以n就可以了。

若问缘由，如下是说：

當與三五好友聚餐時，總要先選個地方坐下來，此時有圓桌、 方桌，甚至於其它形狀的桌子，若任選其中一個來坐，則會有幾種不同的坐法呢? 這類問題便是下面所要提的環狀排列(或稱圓排列)及桌形排列：

 

  • 環狀  :  將一直線的首、尾相連接，使其變成一圓圈，稱之為 " 環狀 (或圓) "。

 

  • 環狀排列  :  將事物沿著一圓周來作排列，稱之為" 環狀排列 (或稱圓排列)"。

  •  

  • 桌形排列 : 當事物是沿著正$n$邊形來作排列時，稱之為 " 桌形排列 "。桌形排列每邊的個數不一定為 1。因此，見此環狀排列更一般的排列方式為 :  $n$個事物的環狀排列，可視為$n$個事物在每邊只能排一個的正$n$邊形上作桌形排列。

  •  環狀排列及桌形排列均只考慮事物的相關位置，而不計較各物件所在的實際位置； 也就是說，如果將所排成的某一環形任意轉動，所得到的結果仍視為同一環狀排列。 (注意，此環狀排列不能翻轉。)先考慮下面的問題:

 

 

問題1 :  甲、乙、丙三人圍一圓桌而坐，共有多少不同的坐法？

 

此即上面提過之環狀排列的問題。我們首先將環狀排列看成直線排列，則三人的排列(不重複)有 $P_{3}^{3}=3!=6$種，分別為

(甲、乙、丙)       (乙、丙、甲)       (丙、甲、乙)

(乙、甲、丙)       (甲、丙、乙)       (丙、乙、甲)

 

 

但是在每一種排法中， 例如 ， 若(甲、乙、丙) 這種排法，在環形中為

 

則依逆時針方向每次各移動一位，如下圖所示：

 

 

相對於直線排列分別為 (甲、乙、丙)、(丙、甲、乙)及(乙、丙、甲)。 由於在環狀排列上，這三人的相對位置都沒改變，因此，均視為相同。同理， (乙、甲、丙)、(甲、丙、乙)及(丙、乙、甲)這三種直線排列，在環狀中， 亦視為相同排列。將上述的說明歸納整理如下：

 

直線排列

環狀排列

 

我們可發現：雖然在直線排列中有$3!$種排法，但若將其圍成環狀後， 可知每3種直線排列中，在環狀排列上只視為同一種。所以，其環狀排列數只有 $\frac{\displaystyle 3!}{\displaystyle 3}=2!=(3-1)!$種。

 

若將問題 1 推廣至$n$個不同的物件沿一圓周而排列，且此圓不能翻轉，會有多少種不同的排列數呢？如同上面例子的做法，可先將此 $n$個相異物作直線排列，然後再依序圍成一圈，結果發現直線排列中每$n$種排列在環狀排列上，為同一種排列方式。為什麼呢？我們可把它想成此圓周有 $n$個空格，當$n$個不同物件排定位後，將整體往同一方向移一格，這對直線排列而言是一種新的排列方式，但對環狀排列而言， 卻是同一種排列方式，因各物件的左右關係不變。重覆上述的移動方式，我們發現，每一種環狀排列對應$n$種不同的直線排列 ，而$n$種不同的直線排列數為$P_{n}^{n}=n!$，所以，其環狀排列數為

\begin{displaymath}\frac{n!}{n}=(n-1)!\end{displaymath}

这其实是一个定理，还有一个比较重要的定理：

將$m$ 個不同的事物沿一正 $n$ 邊形而排列，其中$m$為$n$的倍數，每邊的個數相等，則排列數為

\begin{displaymath}\frac{P^{m}_{m}}{n}=\frac{1}{n} \times m!\end{displaymath}

一个实例：

 

問題2  : 有六個小朋友玩遊戲，它們想圍成一正三角形，每邊的人數一樣(均為 2 人)， 請問他們會有幾種不同的圍法呢？

先將此六人來個編號吧！分別為 1、2、3、4、5、6 ，把它們作直線排列有幾種情形呢？ 回憶一下吧！直線排列數 $P_{6}^{6}=6!=720$種，將其圍成三角形，每邊為 2 人。因直線排列數太大了 ，無法一一列舉，所以，我們考慮底下其中三組

 

其他依此類推，可發現在 720 種直線排列中，每 3 組直線排列在正三角形排列上視為同一種，故有 $\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 3}\times 6!=240$ 種不同的排列數。

  若推廣至將$m$個不同的事物沿一正$n$邊形而排列，其中$m$為$n$的倍數 ，每邊的個數相等，其排列數為何呢？如同上面問題 2 的解法，先將 $m$ 個不同的事物作直線排列，再圍成正 $n$ 邊形，每 $n$ 組直線排列在正 $n$ 邊形排列上， 均視為同一種，故排列數為

\begin{displaymath}\frac{1}{n} \times m!\end{displaymath}

 

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